一次函数与方程(组)、不等式课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章一次函数23.3一次函数与方程(组)、不等式目录1.学习目标4.知识点1 一次函数与一元一次方程的关系7.课堂小结2.知识回顾8.当堂小练CONTENTS10.拓展与延伸3.新课导入9.对接中考5.知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系6.知识点3 一次函数与二元一次方程(组)的关系1.会根据一次函数的图象解释一次函数与方程(组)、不等式的关系，体会它们之间的内在联系.2.能通过解方程(组)确定对应的一次函数图象的交点坐标；反之，会结合图象求方程(组)的解或不等式的解集，体会数形结合思想，发展几何直观和推理能力.学习目标知识回顾一次函数的定义

一次函数的性质一次函数（k，b是常数，）k，b的符号k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0图象性质经过的象限y随x的增大而增大y随x的增大而减小一、二、三xyO一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四xyOxyOxyOxyOxyO新课导入思考数数去超市买水果，苹果每斤5元.假设他买了x斤，总价y元.(1)如果数数付了30元，他买了几斤苹果？(2)如果数数只带了30元，他最多能买几斤苹果？(3)总价y与x的关系是什么？5x=305x≤30y=5x方程不等式函数方程、不等式、函数有什么联系呢？新课讲解知识点1一次函数与一元一次方程的关系思考

分析：一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为(0.5，0)，这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.y=2x-1由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5.0.50新课讲解任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标.一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b中，当y=0时，求x的值解方程kx+b=0直线y=kx+b与x轴交点的横坐标方程的解数的角度形的角度新课讲解利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤①转化：将一元一次方程转化为kx+b=0(k≠0)的形式.②画图象：画出一次函数y=kx+b的图象.③找交点：找出一次函数图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.拓展如何求方程kx+b=n

的解？

解方程kx+b=n直线y=kx+b与直线y=n交点的横坐标方程的解数的角度形的角度新课讲解例

解：由图可知，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标，所以方程kx＋b＝0的解为x＝－1；方程kx＋b＝2的解是直线y＝kx＋b与直线y＝2交点的横坐标(也是直线y＝kx＋b与y轴交点的横坐标)，所以方程kx＋b＝2的解为x＝0.1.若x＝4是方程kx＋b＝0的解，则直线y＝kx＋b与x轴交点的坐标为(

)A．(4，0)B．(0，4)C．(0，－4)D．(－4，0)新课讲解练一练A新课讲解练一练2.如图，直线y＝ax＋b(a≠0)经过点A(0，3)，B(5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝______.5新课讲解知识点2一次函数与一元一次不等式的关系思考分析：当图象上点的纵坐标大于0时,点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是

x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？∴不等式2x-1>0的解集是x>0.5，不等式2x-1<0的解集是x

<

0.5.新课讲解对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x

的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.一次函数与一元一次不等式的关系一次函数y=kx+b中，当y>0(<0)时，求x的取值范围解一元一次不等式kx+b>0(<0)直线y=kx+b在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围不等式的解集数的角度形的角度新课讲解例

A

解：由函数图象可知，当x<2时，一次函数y=kx+b的图象在直线y=-1的上方，即kx+b>-1，所以不等式kx+b>-1的解集为x<2.新课讲解例3.用画函数图象的方法解不等式3x＋2>2x－1.解法一：原不等式可化为x＋3>0.画出函数y＝x＋3的图象.由图象可以看出，当x>－3时，这条直线上的点在x轴上方，即此时y＝x＋3>0.所以不等式3x＋2>2x－1的解集为x>－3.新课讲解例3.用画函数图象的方法解不等式3x＋2>2x－1.解法二：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝3x＋2与函数y＝2x－1的图象，它们交点的横坐标为－3.当x>－3时，对于同一个x的值，直线y＝3x＋2上的点在直线y＝2x－1上相应点的上方，这时3x＋2>2x－1，即不等式的解集为x>－3.直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2交点的横坐标即为方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解；不等式k1x＋b1>k2x＋b2(或k1x＋b1<k2x＋b2)的解集就是直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2上(或下)方部分对应的自变量x

的取值范围.归纳新课讲解练一练

A新课讲解练一练2.如图，一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)的图象经过点A(4，1)，则不等式ax＋b<1的解集为______.x＜4新课讲解利用图象法解一元一次不等式的一般步骤1.将不等式转化为kx＋b>0或kx＋b<0(k≠0)的形式；2.画出函数y＝kx＋b的图象并确定该图象与x轴的交点坐标；3.根据该图象确定对应不等式的解集.归纳对于可化为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围;从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.归纳新课讲解知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系思考如何用一次函数的图象解释二元一次方程？以方程2x-y=1为例.

新课讲解由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.一次函数与二元一次方程组的关系注意：虽然一次函数与二元一次方程可以相互转化，但是一次函数≠二元一次方程.一次函数y=kx+b二元一次方程y-kx=b一次函数y=x+b图象上点的坐标二元一次方程

y-kx=b的解一一对应相互转化思考

新课讲解一般地，由含有未知数x

和y

的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.一次函数与二元一次方程组的关系新课讲解

图象法求二元一次方程组的解的一般步骤注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准且有时只能得到近似解.新课讲解思考两直线的位置关系对应的二元一次方程组解的情况相交有唯一解平行无解重合有无数组解两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系？利用图象法求出的方程组的解是否准确，取决于所画的图象是否准确.判断用图象法所得到的方程组的解是否准确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的.注意新课讲解例4.同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式.(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解：(1)气球上升时间x满足0≤

x

≤60.对于1号气球，y关于x

的函数解析式为y=x+5.对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.

新课讲解例4.同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式.(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解：也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.解：气球上升时间x满足0≤

x

≤60.对于1号气球，y关于x

的函数解析式为y=x+5.对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.新课讲解例

新课讲解练一练

B新课讲解练一练

课堂小结一次函数与二元一次方程(组)一次函数与方程(组)、不等式一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次不等式数形结合思想直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标一元一次方程kx+b=0的解直线y=kx+b在x轴上方（下方）部分对应的自变量的取值范围一元一次方程kx+b>0(＜0)的解集两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解一次函数图象上的点的坐标即为对应的二元一次方程的解当堂小练

当堂小练2.画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及不等式-2x+8>0与-2x+8<0.解：图象如图所示，观察图象可知方程-2x+8=0的解为x=4，不等式-2x+8>0的解集为x<4，不等式-2x+8<0的解集为x>4.当堂小练3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游.在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费.当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？解：设租车时间为th.由题意得，在甲公司租车费用为(80+14t)元，在乙公司租车费用为30t元.令80+14t=30t，解得t=5.故租车时间为5h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同.当堂小练4.已知不等式kx＋b<0的解集是x<2，则一次函数y＝kx＋b

的图象大致是(

)B当堂小练5.将直线y＝2x向上平移m个单位长度后与直线y＝－x＋n交于点(1，a)，则关于x的方程2x＋m＝－x＋n的解为(

)A.x＝－1 B.x＝1C.x＝－2 D.x＝2B当堂小练

解：(1)因为点P(1，b)在直线y＝x＋1上，所以b＝1＋1＝2.

对接中考1.如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y

轴交于A，B

两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________.x＝－2解：因为OA＝2，所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交于点A(－2，0).所以关于x

的方程kx＋b＝0的解为x＝－2.对接中考2.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c

相交于点P(m，3)，则关于x

的不等式x＋2≤ax＋c

的解集为______.x≤1解：因为直线y＝x＋2经过点P(m，3)，所以m＋2＝3，解得m＝1.所以P(1，3).结合图23.3－11可知x＋2≤ax＋c

的解集为x≤1.拓展与延伸

在平面直角坐标系xOy

中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1).(1)求k，b

的值；(2)当x>2时，对于x

的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b

的值，也大于函数y＝－kx