全品高考备战2027年数学一轮备用题库14重点强化练(十四)【答案】

重点强化练(十四)1.B[解析]设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题知c=1,所以S△PF1F2=12×2c×y0=y0,又S△PF1F2=1,所以y0=1,将其代入x0252.D[解析]对于A,双曲线C1:x2-y28=1的渐近线方程为y=±22x,故A错误;对于B,由题意得F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,故|F1A|=6,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2,故|F2A|=4,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,则|F1A|+|F2A|=2a,即2a=6+4=10,解得a=5,又c=3,所以椭圆C2的离心率为ca=35,故B错误;对于C,b2=a2-c2=25-9=16,故椭圆C2的方程为x225+y216=1,故C错误;对于D,在△AF1F2中,故sin∠AF1F2=1-792=429,所以12|AF1||F1F2|sin∠AF1F2=82,故D正确.故选D3.A[解析]由题意知,F1(-3,0),F2(3,0),设G(x0,y0),则S△GF1F2=12×23×|y0|,由|y0|≤1得,|y0|=1时△GF1F2的面积最大,此时G(0,±1),tan∠F1GO=故∠F1GO=π3,所以∠F1GF2=2∠F1GO=2π3.故选4.D[解析]设△PF1F2的内切圆半径为r,则S1=12|PF1|r,S2=12|PF2|r,S3=12|F1F2|r,所以S1-S2=12|PF1|r-12|PF2|r=12r(|PF1|-|PF2|)=ar,又S3=cr,S1-S2=S33,所以ar=13cr,即c5.C[解析]由3x2-10x+3=(3x-1)(x-3)=0,得x=13或x=3.当e=13时,曲线为椭圆.当椭圆的焦点在x轴上时,0<m<4,则4-m4=19,可得m=329,符合题意;当椭圆的焦点在y轴上时,m>4,则m-4m=19,可得m=92,符合题意.当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,则4-m4=9,6.A[解析]椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则直线AB:消去x得|y|=b2a,则|AB|=2b2a.由△ABF2为等边三角形,得|F1F2|=32|AB|,即2c=32·2b2a,即2ac=3b2=3(a2-c2),整理得3e2+2e-3=0,又0<7.D[解析]∵O为线段F1F2的中点(O为坐标原点),B为线段AF1的中点,∴OB∥AF2,又OB⊥x轴,∴AF2⊥x轴.在Rt△AF1F2中,∠AF1F2=π6,设|AF2|=t,则|AF1|=2t,|F1F2|=3∵△AF1F2的面积为23,∴12×3t×t=23,∴t=2,∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6,即a=3,2c=|F1F2|=3t=23,即c=3,∴b2=a2-c2=6,则C的方程为x29+y268.B[解析]设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义知|m-n|=2a①.在△F1PF2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·cos∠F1PF2,所以4c2=m2+n2-67mn②.延长PO至点Q,使|OQ|=|OP|,连接F1Q,F2Q,则四边形PF1QF2为平行四边形,且|PQ|=2×32a=3a.在△PF1F2中,由余弦定理知4c2=m2+n2-2mn·cos∠F1PF2,在△PF1Q中,由余弦定理知9a2=m2+n2-2mncos∠PF1Q,因为∠F1PF2+∠PF1Q=π,所以cos∠F1PF2+cos∠PF1Q=0,可知2(m2+n2)=9a2+4c2,所以m2+n2=9a2+4c22③.由①③得mn=14a2+c2④,把③④代入②得4c2=9a2+4c22-6714a2+c2,化简得20c2=30a2,所以20a29.BC[解析]因为椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)过点(1,1),所以1a2+1b2=1,且A(a,0),B(0,b).对于A,当b=3时,a=324<2,但是c=b2-a2=3144>2,故A错误.对于B,直线AB的方程是xa+yb-1=0,则原点O到直线AB的距离为11a2+1b2=11=1,故B正确.对于C,由x2+y2+xy=34得,x+y22=34(1-y2)≥0,从而有y2≤1,同理x2≤1,显然曲线x2+y2+xy=34在直线x=±1,y=±1所围成的矩形内,椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)在直线x=±a,y=±b所围成的矩形内,由1a2+1b2=1得a>1,b>1,显然椭圆10.AC[解析]如图①,当∠MF1F2=π2时,MF1⊥F1F2,又F1(-3,0),F2(3,0),所以M(-3,2),|F1F2|=23,则|MF2|=|MF1|2+|F1F2|2=4,故∠F1MF2=π3,∠MF2F1=π6,又NM平分∠F1MF2,所以∠NMF2=π6,进而可得直线MN的斜率为-3,故A正确.因为NM⊥F2N,所以F2M·F2N=F2N2=4,故B错误.如图②,延长F2N,MF1交于点H,由于NM平分∠F1MF2,NM⊥F2N,所以△MNH≌△MNF2,故N是HF2的中点,|HM|=|F2M|,由双曲线的定义可得|F2M|-|F1M|=2,即|HM|-|F1M|=|HF1 11.ABD[解析]如图所示,设△F1PF2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为A,B,C.对于A,由椭圆的方程x225+y216=1知a=5,b=4,c=3,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,易知|AF1|+|BF2|=|F1F2|=6,所以|PA|=|PB|=2,所以|IP|=1+4=5,故A正确;对于B,S△F1PF2=S△F1PI+S△IPF2+S△F1IF2=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)×1=12(2a+2c)×1,又因为S△F1PF2=12×6×y0=12×(10+6)×1,所以y0=83,又因为P(x0,y0)为椭圆上一点且在第一象限,所以x0225+y0216=1,可得x0=553,故B正确;对于C,|PF1|=a+cax0=5+5,所以|AF1|=|PF1|-|PA|=3+5,12.455[解析]由题意可知2c=8,得c=4,所以k=20-16=4,所以椭圆方程为x220+y24=1,椭圆的右焦点为(4,0),当x=4时,1620+y24=1,得|y|=213.52,2[解析]依题意,12<2b2a=ba<1,双曲线的离心率e=a2+b2a=a2+b2a2=1+ba2.设t=ba,则t∈12,1,设f(t)=1+t2,t∈12,114.4[解析]如图所示,因为椭圆方程为x24+y23=