全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第8讲函数的奇偶性、对称性【答案】听课手册

第8讲函数的奇偶性、对称性●课前基础巩固【知识聚焦】f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)原点y轴原点【对点演练】1.①③[解析]根据偶函数的定义,可知①③是偶函数.2.(0,1)[解析]f(x)=x+1x=1+1x,函数y=1x的图象向上平移一个单位长度得到y=1+1x的图象,又y=1x的图象关于点(0,0)对称,所以f3.(-2,0)∪(2,5][解析]由图象知,f(0)=f(2)=0,当0<x<2时,f(x)>0,当2<x≤5时,f(x)<0.因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=0,当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5].4.非奇非偶[解析]由x-1≥0,1-x≥0得x≥1,x≤1,即x=1,故函数f5.x=a(b,0)[解析]因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,将y=f(x+a)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x+a)图象的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图象关于点(b,0)对称.6.x2+x,x>0,0,x=0,-x2+x,x<0[解析]当x<0时,-x>0,所以f(x)=-●课堂考点探究例1[思路点拨]首先确定各函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称,若对称,再根据奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性;若不对称,则函数为非奇非偶函数.B[解析]对于A,由x+1≠0,得x≠-1,则f(x)的定义域为{x|x≠-1},定义域不关于原点对称,故f(x)=x2+xx+1为非奇非偶函数,A不符合题意;对于B,f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x),故f(x)为偶函数,B符合题意;对于C,因为x2+1-x>0在R上恒成立,所以f(x)的定义域为R,又f(-x)=log2(x2+1+x)=log21x2+1-x=-log2(x2+1-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,C不符合题意;对于D,f(x)的定义域为R,且f(-x)=2-x-1变式题(1)CD(2)BC[解析](1)对于A,f(x)=ex-x2x2+1的定义域为R,由f(-1)=e-1-12,f(1)=e-12,得f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),则f(x)既不是偶函数也不是奇函数.对于B,f(x)=cosx+x2x2+1的定义域为R,且f(-x)=cos(-x)+(-x)2(-x)2+1=cosx+x2x2+1=f(x),则f(x)为偶函数.对于C,由1-x2>0,|x-2|≠2,得f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=lg(1-x2)-x.又f(-x)=lg[1-(-x)2]x=-lg(1-x2)-x=-f(x),∴函数f(x(2)对于A,设F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),故F(x)为奇函数,故A错误;对于B,设m(x)=|f(x)|+g(x),则m(-x)=|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x)=m(x),故m(x)为偶函数,故B正确;对于C,设n(x)=f(x)|g(x)|,则n(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-n(x),故n(x)为奇函数,故C正确;对于D,设φ(x)=f(x)-g(x),则φ(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),得φ(-x)≠φ(x)且φ(-x)≠-φ(x),故φ(x)为非奇非偶函数,故D错误.故选BC.例2[思路点拨](1)函数为奇函数,则定义域关于原点对称且函数图象过原点,列方程求解即可;(2)根据f(0)=0求得m=-1,再结合奇函数的定义求当x<0时f(x)的解析式.(1)B(2)-2-x-2x+1[解析](1)若a=0,则f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以a≠0.若奇函数f(x)=lna+11-x+b有意义,则x≠1且a+11-x≠0,所以x≠1且x≠1+1a.因为奇函数的定义域关于原点对称,所以1+1a=-1,解得a=-12.由f(0)=0,得ln12+b(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=1+m=0,解得m=-1,故当x≥0时,f(x)=2x-2x-1.当x<0时,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-[2-x-2(-x)-1]=-2-x-2x+1.变式题(1)D(2)e[解析](1)因为函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x-22x,则f(1)=f(-1)=-(2)因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以f即f(x)+g(x例3[思路点拨](1)利用偶函数的性质以及函数f(x)在(0,+∞)上单调递增即可得出结论.(2)思路一:根据平移结合图象得到结果;思路二:利用奇函数与函数的单调性求得结果.(1)A(2)D[解析](1)由题意知f(x)为偶函数,所以a=flog132=f(-log32)=f(log32),当x>0时,f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,因为0<log52<log32<1,e0.2>e0=1,所以0<log52<log32<e0.2,所以f(log52)<f(log32)<f(e0.2),所以b<a(2)方法一:由题意可得y=f(x)的图象可如图①所示,∵y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移一个单位得到(如图②),∴满足xf(x-1)≥0即满足f(x-1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3]. 方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0可得f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.则对于函数f(x-1)而言,当x∈(-∞,-1)∪(1,3)时,f(x-1)>0;当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f(x-1)<0.又f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围为[-1,0]∪[1,3].故选D.变式题(1)D(2)D[解析](1)由f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)],且定义域关于原点对称,得f[f(x)]是奇函数,由f[g(-x)]=f[g(x)],且定义域关于原点对称,得f[g(x)]为偶函数,故A,B选项均错误.由题易知函数f(x)在R上单调递减,则f(-1)<f(-2),从而f[f(-1)]>f[f(-2)],故C选项错误.由题易知函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,由0=f(0)<f(-1)<f(-2),得g[-f(-1)]=g[f(-1)]>g[f(-2)],故D选项正确.故选D.(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以由f(-x)-f(x)<0,可得-f(x)-f(x)<0,即f(x)>0.当x>0时,由f(x)=log2x-1>0,解得x>2;当x=0时,由奇函数的性质可得f(0)=0,不满足f(x)>0;当x<0时,-x>0,则f(-x)=log2(-x)-1,由奇函数的性质,可得f(x)=-f(-x)=-log2(-x)+1,由-log2(-x)+1>0,解得-2<x<0.综上,不等式f(-x)-f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D.例4[思路点拨]构造函数g(x)=f(x)-7,由奇函数的定义得g(x)为奇函数,利用奇函数图象的对称性得g(x)max+g(x)min=0,即可求解.14[解析]令g(x)=f(x)-7=ax3+3sinx,且x∈[-2026,2026],则g(-x)=a(-x)3+3sin(-x)=-ax3-3sinx=-g(x),所以g(x)为奇函数且其图象在[-2026,2026]上连续,根据奇函数图象的对称性得g(x)在[-2026,2026]上的最大值、最小值满足g(x)max+g(x)min=M-7+m-7=0,故M+m=14.变式题(1)C(2)π4[解析](1)因为f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-7,-3]上的单调性与f(x)在[3,7]上的单调性相同,故f(x)在[-7,-3]上单调递增.f(x)在[3,7]上的最小值为5,即f(3)=5,所以f(x)在区间[-7,-3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-5.故选C(2)设g(x)=cosx·ln(x+1+x2),x∈[-5,5],则g(-x)=cosx·ln(-x+1+x2),g(x)+g(-x)=cosx·ln1=0,∴g(x)是奇函数,∴g(x)的最大值和最小值互为相反数.∵f(x)的最大值为M,最小值为m,∴M-π4+m-π4=0,即M+m=π2,则f例5[思路点拨]设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,可证P(m,n)关于点(1,a)的对称点Q(2-m,2a-n)也在函数y=f(x)的图象上,从而可证对称性.证明:f(x)=lnx2-x+ax+b(x设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,P(m,n)关于点(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n).因为P(m,n)在y=f(x)的图象上,所以n=lnm2-m+am+b(m故f(2-m)=ln2-mm+a(2-m)+b(2-m-1)3=-lnm2-m所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于点(1,a)中心对称.变式题(1)D(2)AC[解析](1)对于A,y=x3为奇函数,故y=x3+1的图象有对称中心(0,1);对于B,y=x+1x为奇函数,将其图象向右平移一个单位长度后得到y=x-1+1x-1=x2-2x+2x-1(2)对于A,∵f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,而f(x-1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,