全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第8讲函数的奇偶性、对称性【答案】作业手册

第8讲函数的奇偶性、对称性1.D[解析]对于A,f(x)=2-x的定义域为R,f(-1)=2≠-f(1)=-12,即函数f(x)=2-x不是奇函数,故A错误;对于B,f(x)=ln|x|的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,但f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)≠-f(x),所以函数f(x)=ln|x|不是奇函数,故B错误;对于C,函数f(x)=x23=3x2的定义域为R,但f(-x)=3(-x)2=3x2=f(x)≠-f(x),所以函数f(x)=x23不是奇函数,故C错误;对于D,f(x)=sinx的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),即函数f(x)=sinx是奇函数,且函数f(2.C[解析]因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,所以f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1.故选C.3.B[解析]取f(x)=x(x-1),x∈R,则f(0)=0,但f(1)=0,f(-1)=2,即f(-1)≠-f(1),所以函数f(x)不是奇函数,故充分性不成立;若函数f(x)为奇函数,则f(0)=-f(-0),即f(0)=0,故必要性成立.所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B.4.A[解析]若函数f(x)是R上的偶函数,则有f(-1解得a=2,b=-1.当a=2,b=-1时,f(x)=x3+2x,x≥0,-x3-2x,x<0,f(0)=0,当x>0时,-x<0,f(-x)=x3+2x=f(5.D[解析]方法一:因为f(x)=xexeax-1是偶函数,所以f(x)-f(-x)=xexeax-1-(-x)e-xe-ax-1=x[ex-e(a-方法二:因为f(x)=xexeax-1是偶函数,所以f(1)=f(-1),即eea方法三:由题设,可知f(x)=x·exeax-1,且y=x为奇函数,则g(x)=exeax-1为奇函数,由g(x6.BCD[解析]f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为[-1,1],故A错误,B正确.f(-x)=sin-1x=-sin1x=-f(x),f(x)是奇函数,故C正确.当x∈2π,+∞时,1x∈0,π2,因为函数y=1x在2π,+∞7.(-2,-1)∪(1,2)[解析]∵x·f(x)<0,∴当x>0时,f(x)<0,结合函数的图象可得1<x<2;当x<0时,f(x)>0,根据奇函数f(x)的图象关于原点对称可得-2<x<-1,∴不等式x·f(x)<0的解集为(-2,-1)∪(1,2).8.2[解析]因为f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,所以f(ax-1)=f[a(4-x)-1],又f(1)=f(5),所以ax-1=1解得a=2.9.解:(1)由题意可得(1+x)(1-x)>0,解得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1),又f(-x)=ln1+x1-x=ln1-x1+x-1=-ln1-x又f'(x)=1+x1-x×-(1+x)-(1(2)由1-x2≥0,x2-1≥0,得x2=1,则所以f(-x)=f(x)=-f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.f(x)是常函数,不具有单调性.(3)由题可知ex-e-x>0,即x>0,定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.显然f(x)是增函数.(4)函数f(x)的定义域为R,f(-x)=ln(x2+1-x)=ln1x2+1+x=-f(f'(x)=1x2+1+x×xx10.C[解析]f(x)=3x3-sinx+x的定义域为R,f(-x)=-3x3+sinx-x=-f(x),故f(x)为奇函数,又f'(x)=9x2-cosx+1≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)+f(4-3x)<0等价于f(x)<-f(4-3x)=f(3x-4),所以x<3x-4,可得x>2,故x的取值范围是(2,+∞).故选C.11.B[解析]对于A,由题可知f(x)+f(-x)=(a-1)(ex+e-x),若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0恒成立,即(a-1)(ex+e-x)=0恒成立,因为ex+e-x>0恒成立,所以a-1=0,解得a=1,所以若f(x)为奇函数,则a=1,故选项A中命题是假命题.对于B,f(x)-f(-x)=(a+1)(ex-e-x),若f(x)为偶函数,则f(x)-f(-x)=0恒成立,即(a+1)(ex-e-x)=0恒成立.因为ex-e-x不恒为0,所以a+1=0,解得a=-1,所以若f(x)为偶函数,则a=-1,故选项B中命题是真命题.对于C,D,f'(x)=ae2x+1ex.当a≥0时,ae2x+1>0,ex>0,所以f'(x)>0,则f(x)为增函数.当a<0时,令f'(x)=0,即ae2x+1ex=0,则ae2x+1=0,即e2x=-1a,解得x=-ln(-a)2.当x<-ln(-a)2时,f'(x)>0,f(12.A[解析]由f(x)=log2(1+4-x)+x,知其定义域为R,又f(-x)-f(x)=log2(1+4x)-x-log2(1+4-x)-x=log21+4x1+4-x-2x=log24x-2x=2x-2x=0,所以函数f(x)为偶函数,f(x)=log2(1+4-x)+x=log2(1+2-2x)+log22x=log2(2x+2-x),由y=2x在R上单调递增,y=x+1x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,得y=2x+12x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.由f(2m-3)<f(m),得|2m-3|<|m|,即(2m-3)2<m2,整理可得m13.AD[解析]因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)=-f(-x+2),所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故C错误,D正确.因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确,B错误.故选AD.14.-12[解析]设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点为Q(x',y'),则x+x'=2m,y=y',则x=2m-x',y=y',则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-215.解:(1)函数f(x)=aex+be-x的定义域为R,由于函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即ae-x+bex+aex+be-x=0,即(a+b)(ex+e-x)=0,因为ex+e-x>0,所以a+b=0,即b=-a,所以a2-2b=a2+2a=(a+1)2-1≥-1,当且仅当a=-1时取等号,所以a2-2b的最小值为-1.(2)由于函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)在R上恒成立,即ae-x+bex=aex+be-x,即(a-b)(ex-e-x)=0,因为ex-e-x不恒等于0,所以a-b=0,即a=b.因为e2x+e-2x+f(x)≥0在R上恒成立,所以e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0恒成立,令t=ex+e-x,则有t≥2ex·e则e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0恒成立,等价于t2-2+at≥0,t≥2恒成立,所以-a≤t-2t,而y=t-2t在[2,+∞)上单调递增,故t-2t≥2-22=1,所以-a16.A[解析]令g(x)=f(x+1)-2,则f(x)=g(x-1)+2,由f(2a+t)+f(a2-1)≤4,可得g(2a+t-1)+2+g(a2-1-1)+2≤4,即g(2a+t-1)+g(a2-2)≤0,又因为g(x)为奇函数,所以g(2a+t-1)≤-g(a2-2)=g(2-a2).因为f(x)是定义在R上的增函数,所以g(x)也是定义在R上的增函数,故2a+t-1≤2-a2,即t≤-a2-2a+3=-(a+1)2+4恒成立.因为a∈[-3,2],所以-(a+1)2+4≥-(2+1)2+4=-5,所以t≤-5,即实数t的取值范围是(-∞,-5].故选A.17.D[解析]函数f(x)的定义域为R,f(-x)=e