全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第8讲函数的奇偶性、对称性【正文】听课手册

第8讲函数的奇偶性、对称性【课标要求】1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.

2.能通过平移,了解奇偶性是特殊的对称性,分析得出一般的轴对称和中心对称公式.函数的奇偶性偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且,那么函数f(x)就叫作偶函数

一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且,那么函数f(x)就叫作奇函数

定义域关于对称

图象特征关于对称

关于对称

常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.2.若奇函数f(x)在0处有定义,则f(0)=0.3.f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|).4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.5.在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.6.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论:(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点a+(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点a+b题组一常识题1.[教材改编]函数①f(x)=x2-1,②f(x)=x3,③f(x)=x2+cosx,④f(x)=1x+|x|中是偶函数的是.2.[教材改编]函数f(x)=x+1x的图象的对称中心为3.[教材改编]设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.

题组二常错题◆索引:判断函数的奇偶性时,忽略函数的定义域导致出错;对函数图象对称性的理解不透彻导致出错;利用函数的奇偶性求函数的解析式时忽略定义域导致出错.4.函数f(x)=x-1+1-x是5.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图象关于点对称.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(x+1),则函数f(x)的解析式为f(x)=.

函数奇偶性的判断例1下列函数在定义域上是偶函数的为 ()A.f(x)=xB.f(x)=xsinxC.f(x)=log2(x2+1-D.f(x)=2x-1总结反思(1)函数具有奇偶性包括两个必备条件:①定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.②判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.(2)一些重要类型的奇偶函数模型①函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函数.②函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数.③函数f(x)=ax+1ax-1(a>0且a≠1)是奇函数.④函数f(x)=logax-bx+b(a>0且a≠1)是奇函数.⑤函数变式题(1)(多选题)下列函数是奇函数的是()A.f(x)=eB.f(x)=cosC.f(x)=lgD.f(x)=x(2)(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x),g(x)均不恒为0,则下列结论中正确的是 ()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|+g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.f(x)-g(x)是奇函数函数奇偶性的应用角度1求解析式(参数或值)例2(1)[2025·山西大同调研]若f(x)=lna+11-x+bA.a=12,b=-ln2B.a=-12,bC.a=-2,b=0 D.a=0,b=0(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m,则当x<0时,f(x)=.

总结反思利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.变式题(1)[2025·江西十二校一联]已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x-22x,则f(1)=A.32 B.-C.6 D.-6(2)已知f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,若f(x)+g(x)=ex+x,则g(x)=.

角度2奇偶性与单调性例3(1)[2026·重庆一中月考]设函数f(x)=log2|x|,若a=flog132,b=f(log52),c=f(e0.2),则a,b,c的大小关系为A.b<a<c B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c(2)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]总结反思解决函数的奇偶性和单调性结合的问题要注意以下几点(1)先判断函数的奇偶性、单调性;(2)注意函数定义域对变量取值范围的限定;(3)根据函数的单调性及定义域列出不等式组,解不等式组.变式题(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)均在[0,+∞)上单调递减,则 ()A.f[f(x)]是偶函数B.f[g(x)]是奇函数C.f[f(-1)]<f[f(-2)]D.g[-f(-1)]>g[f(-2)](2)[2026·山东日照联考]已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x-1,则不等式f(-x)-f(x)<0的解集为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)角度3函数的奇偶性与最值例4已知函数f(x)=ax3+3sinx+7,x∈[-2026,2026]的最大值为M,最小值为m,则M+m=.

总结反思若奇函数的最大值为M,则根据其图象关于原点对称,可得它的最小值为-M.若函数图象关于点成中心对称,则函数图象上的最大值点与最小值点也成中心对称.变式题(1)如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上 ()A.单调递增且最小值为-5B.单调递减且最小值为-5C.单调递增且最大值为-5D.单调递减且最大值为-5(2)已知函数f(x)=π4+cosx·ln(x+1+x2)在区间[-5,5]上的最大值是M,最小值是m,则f(M+m函数图象的对称性例5[2024·新课标Ⅰ卷节选]已知函数f(x)=lnx2-x+ax+b(x-1)3,证明:y=f(x)的图象关于点(1,

总结反思1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x).2.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b⇔f(a-x)+f(a+x)=2b.3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论:(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图象关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).变式题(1)[2025·重庆八中月考]下列函数的图象不存在对称中心的是 ()A.y=x3+1 B.y=xC.y=