全品高考备战2027年数学一轮学生用书03增分微课1函数的值域与最值【答案】听课手册

增分微课1函数的值域与最值例1(1)-34,12(2)[-log25,2-log211][解析](1)因为y=log12x和y=12x在[1,2)上均单调递减,所以y=log12x+12x在[1,2)上单调递减,所以log122+122<y≤log121+1(2)设t=x2-3x+5=x-322+114,∵0≤x≤2,∴当x=32时,t取得最小值114,当x=0时,t取得最大值5,即114≤t≤5.∵函数y=log12t为减函数,∴log125≤f(x)≤log12114,即-log25≤f变式题(1)18,[解析](1)因为函数y=2x-5和y=log3x-1在[2,10]上都单调递增,所以y=2x-5+log3x-1在[2,10]上单调递增,当x=2时,y=2-3+log32-1=18,当x=10时,y=2(2)当x≤1时,f(x)=4ex-1在(-∞,1]上单调递增,此时f(x)≤f(1)=4;当x>1时,f(x)=4x-x+1在(1,+∞)上单调递减,此时f(x)<41-1+1=4.综上可知,f(x例2B[解析]作出F(x)的图象,如图中实线部分所示,由图可知F(x)在x=xA处取得最大值,无最小值.由x2-2x=3+2x,得x2-4x-3=0,解得x=2-7或x=2+7,可得xA=2-7,所以yA=3+2(2-7)=7-27,所以F(x)有最大值7-27,无最小值.故选B.变式题9[解析]如图所示,在同一个坐标系中,分别作出函数y1=x+1,y2=x2-2x+1,y3=-x+8的图象,则f(x)=min{x+1,x2-2x+1,-x+8}的图象即是图中的实线部分,由图可知,函数f(x)的最大值即f(x)的图象的最高点A的纵坐标.由y=x+1,y=-x+8,例3178[解析]令1-x=t(t≥0),则x=1-t2,所以y=-2t2+t+2=-2t-142+178(t≥0),由二次函数的性质知,当t=14,即x变式题(1)B(2)[4-5,4+10][解析](1)y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4,令x2+4=t(t≥2),则y=(2)由5-x2≥0,得|x|≤5,令x=5cosβ,β∈[0,π],则原函数可化为y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+π4+4.因为0≤β≤π,所以π4≤β+π4≤5π4,则-22≤sinβ+π4≤1,所以4-5≤10sinβ+π4+4≤4+例4-∞,23[解析]f(x)=2x-33x+1=2x+23-1133x+1=23(3x+1)-11变式题{y∈R|y≠3}[解析]y=3x+1x-2=3(x-2)+7x-2=3+7x例5C[解析]易知f(x)的定义域为R.设y=8x+15x2+3x+4,则yx2+(3y-8)x+4y-15=0,当y=0时,x=-158;当y≠0时,方程可看作关于x的二次方程,由Δ=(3y-8)2-4y(4y-15)≥0,得-16变式题C[解析]方法一:由y=xx2+x+1,得yx2+(y-1)x+y=0,当y=0时,x=0,不符合题意;当y≠0时,由Δ=(y-1)2-4y2≥0,解得-1≤y≤13,又x>0,所以y>0,所以0<y≤13.综上,y=x方法二:当x>0时,y=xx2+x+1=1x+1x+1,当x>0时,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时等号成立,故0<例6(1)[34,+∞)(2)[-2,5][解析](1)原函数可变形为y=(x-3)2+(0-2)2+(x+2)2+(0+1)2,上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(2)设点A(x,1-x2),则点A在半圆弧x2+y2=1(y≥0)上,点A到直线2x+y=0的距离d=|2x+1-x2|5,当y≥0时,由x2+y①当-1≤x<-55时,圆弧x2+y2=1(y≥0)在直线2x+y=0的左下方,2x+1-x2<0,则d=|2x+1-x2|5=-(2x+1-x2)5,且点(-1,0)到直线2x+y=0的距离最大,所以d=-(2x+1-x2)5≤25,故0>2x+1-x2≥-2;②当x=-55时,2x+1-x2=0;③当-55<x≤1时,圆弧变式题-[解析]y=sinx+2cosx-2表示点(cosx,sinx)与点(2,-2)连线的斜率.∵点(cosx,sinx)的轨迹为圆O:x2+y2=1,∴y=sinx+2cosx-2表示圆O:x2+y2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率.过点(2,-2)作圆O:x2+y2=1的切线,斜率必然存在,设过点(2,-2)的圆O:x2+y2=1的切线方程为y+2=k(x-2),即kx-y-2k-2=0,∴圆心(0,0)到切线的距离d=|-2k-2|k2+1=1,解得例72cos1+12[解析]由f(x)=2cosx+x22,x∈[0,1],可得f'(x)=-2sinx+x,x∈[0,1],设h(x)=f'(x),则h'(x)=1-2cosx,x∈[0,1],令h'(x)>0,得π4<x≤1,令h'(x)<0,得0≤x<π4,所以f'(x)在0,π4上单调递减,在π4,1上单调递增,又因为f'(0)=0,f'(1)=1-2sin1<1-2sinπ4=0,所以f'(x)≤0,所以f(x)在[0,1]上单调递减,则变式题e[解析]因为f(x)=