福建省福州市台江区九校2025-2026学年高二数学上学期期中试题 (一)【含答案】

福州市九校联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线的斜率是（

）A． B． C．1 D．2．圆的圆心是（

）A． B． C． D．3．已知向量，若与垂直，则（

）.A． B． C． D．4．如图，在四面体中，，，．点在上，且为中点，则等于（

）A． B．C． D．5．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）A． B．或C． D．或6．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（

）．A． B． C． D．二、多选题9．已知直线：，直线：，则（

）A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过C．若，则 D．若，则或10．已知空间向量，，则下列说法正确的是（

）A．向量与、垂直B．向量与、共面C．若与分别是异面直线与的方向向量，则其所成的角的余弦值为D．向量在向量上的投影向量为11．已知正方体的棱长为1，点满足，则（

）A．若，则B．若，则平面C．若，则的最小值为D．若，则与平面的所成角为定值三、填空题12．已知点，，则AB的中点坐标为.13．已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为.14．曲线，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有．①曲线C的图象关于原点对称；②的最大值③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为四、解答题15．如图，在平行六面体中，，，，.(1)以，，为基底向量，表示向量、；(2)求证：；(3)求的长.16．已知圆的方程为，点在圆内.(1)求圆的圆心和半径；(2)求实数的取值范围；(3)求过点且与圆相切的直线l的方程.17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是上的点，且.

(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面夹角正弦值.18．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：.（2）求直线和平面所成角的正弦值.（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作.(1)已知点和点，直线：，求和.(2)已知圆C：和圆E：.（i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系；（ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：.

参考答案1．B【详解】由.所以直线的斜率为.故选：B2．A【详解】圆的圆心为，圆的圆心为.故选：A.3．D【详解】由于与垂直，所以，所以，故，故选：D4．B【详解】连接，如图：.故选：B.5．D【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以直线方程为，即；若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即.故所求直线方程为或.故选：D.6．D【详解】由已知得，因为直线l的方向向量为，所以点到直线l的距离为故选：D7．C【详解】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2∴整理得：.故选：C8．C【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设A关于平面的对称点为，，则，．设平面的法向量，则，令，则，，所以，所以A与到平面的距离，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为．故选：C.9．ABC【详解】对于A：当时，，由解得，所以的交点是，A正确；对于B：可化为，恒过与的交点，可化为恒过与的交点，B正确；对于C：若，则，解得，C正确；对于D：若，则，解得或，又当时，与重合，所以，D错误.故选：ABC.10．BC【详解】对于A选项，，，故、不垂直，A错；对于B选项，设，则，所以，，解得，即，B对；对于C选项，因为，所以，直线异面直线与的余弦值为，C对；对于D选项，向量在向量上的投影向量，D错.故选：BC.11．ACD【详解】对于A选项，因为，所以易知点为中点，如图，连接和，由正方形易知，

因为点是的中点，所以，故A选项正确；对于B选项，由题意得点在线段上运动，

由正方体的性质可知，所以，，，四点共面，因为点，所以点平面，所以平面和平面为同一平面，所以在平面，故B选项错误；对于C选项，由题意得扫过的平面为平面，扫过的平面为平面，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，

易知当点、、三点共线时最短，所以，故C选项正确；对于D选项，由和易知点在以为圆心半径为的圆上运动，因为平面，所以扫过的图形为圆锥面，所以，且为圆锥的母线，因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，所以与平面的所成的线面角恒定，因为，所以，故D选项正确.故选：ACD.12．【详解】因为，所以由中点公式可得的中点坐标为.故答案为：.13．【详解】直线l可化为，令，所以直线l恒过定点，易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，圆，圆心，半径为5，，又，则，解得，，直线截圆所得弦长的最小值为.故答案为：14．①②④【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上的点）；当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分（包括坐标轴上的点）；当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分（包括坐标轴上的点）；当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分（包括坐标轴上的点）；其图象如图所示，对于①，，将换成，换成得，即，曲线方程不变，结合上面画出的曲线图象，所以曲线C关于原点对称，①正确；对于②，曲线上两点之间最大距离，如图中两点间的距离，其中联立与得，故，同理可得，故，故②正确；对于③，不妨设直线的方程，此时不妨设，此时与曲线C有其它交点，故③错误；对于④，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其中4个半圆的半径均为，正方形的边长为，其面积为，故④正确；故答案为：①②④．15．(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得，；（2）由（1），所以，则；（3）由（1），所以，所以，即的长为16．(1)圆心，半径(2)(3)或【详解】（1）由.所以圆心，半径.（2）因为点在圆内，所以.所以实数的取值范围为.（3）如图：当过点的直线不存在斜率时，其方程为，此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切；当过点的直线存在斜率时，设斜率为，则直线：，即，因为直线与圆相切，所以，所以切线方程为：即.综上，过点与圆相切的直线为：或.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）连接，交于点，连接，如图：

因为底面为正方形，所以为中点，又为中点，所以，平面，平面，所以平面.（2）因为平面，底面为正方形，所以两两垂直.故可以为原点建立如图空间直角坐标系.不妨设，则，，，，.因为为中点，所以.因为在上，且，所以.所以，，，.因为，.所以，，又平面，，所以平面.（3）由（2）得，平面的一个法向量为；设平面的法向量为，则，令，可得.设平面与平面的夹角为，则，所以.18．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点，所以，.所以，又为的中点，所以.因为平面平面，且平面，所以平面，所以.（2）取的中点，连接，所以.由（1）得，.如图建立空间直角坐标系.由题意得，，，，.所以，，.设平面的法向量为.则即令，则，，所以.设直线和平面所成的角为，则.故所求角的正弦值为.（3）线段上存在点适合题意.设，其中.设，则有，所以，，，从而，所以，又，所以令，整理得.解得.所以线段上存在点适合题意，且.19．(1)，；(2)（i）内切；（ii）证明见解析．【详解】（1），，，所以，直线方程为，是上一点，，当，即时，，当，即或时，，所以的最小值是2，所以；（2）（i）圆标准方程是，圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，，若，则或，时，，不合题意，时，，满足题意，此时，，因此两圆内切；若，则或，时，，不合题意，时，，满足题意，此时，，两圆内切．所以圆C和圆