高三二轮高效复习讲义数学专题突破统计与概率微点突破12概率统计中的递推关系

微点突破12概率统计中的递推关系▶对应学生用书P88【考情分析】统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介；数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合.由于此类考题条件多，背景新颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大.重点1递推数列在计数原理中的应用(1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现要求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则不同的方法种数为()A.9 B.16C.44 D.265解析：选D.记n个人坐座位且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2＝1，a3＝2，首先，让A1选位，A1不选B1，则共有(n－1)种方法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位，①当Ak选B1时，则余下的(n－2)个人和(n－2)个座位，共有an－②当Ak不选B1时，则余下的(n－1)个人都有一个不能选的座位，则共有an－所以an＝(n－1)(an－2＋所以a4＝3(a2＋a3)＝9，a5＝4(a3＋a4)＝44，a6＝5(a4＋a5)＝265.(2)某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分(n≥4)，每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花.将总的栽植方案数用an表示，则a4＝，an＝.解析：当n＝4时，若只用两种花色栽植有C32C21＝6种方法，若用三种花色栽植有C31C21C21＝由于圆环区域第一块有3种选法，为了从第2块开始，每一块与前一块不同，则第2块到第n块有两种选法，即有3·2n－1种选法，现考虑第n块，若与第1块不同，则有an种选法，若与第1块相同，则有an－1种选法，故an＋an－1＝3·2n－1，则an－2n＝－an所以an－2n＝a4－24－1n－4＝2·－1n－4＝2·－1n－答案：182n＋－1n[规律方法]在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.对点练1.某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有种.(用数字作答)解析：设小明上n个台阶有an种方法，考虑最后一步：若最后一步小明上1个台阶，则前n－1个台阶有an－1种方法且n≥2；若最后一步小明上2个台阶，则前n－2个台阶有an－2种方法且n≥3.由加法原理得an＝an－1＋an－2n≥3，易知a1＝1，a2＝可得a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89.所以小明不同的上楼方法共有89种.答案：89重点2递推数列在概率、统计中的应用角度1an＝p·an－1(多选)甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为Pnn∈N*.则下列结论正确的是(A.P1＝0B.P3＝7C.3Pn＋2Pn－1＝3nD.P2024＞1解析：选AD.设An表示经过第n次传球后，球在甲手中，设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，n∈N，则P1＝0，故A正确；An＋1＝AnAn＋1＋AnAn＋1所以Pn＋1＝P(AnAn＋1＋AnAn＋1)＝P(AnAn＋1)＋P(AnAn＋1)＝P(An)P(An＋1｜An)＋P(An)P(An＋1｜An)＝(1－Pn)×13＋Pn×0＝13(所以Pn＋1＝13(1－Pn)，所以Pn＋1－14＝－13(Pn－14)，又P1－14所以{Pn－14}是以－14为首项，－1所以Pn＝14＋(－14)×(－13)n所以P3＝14＋(－14)×(－13)2＝29，3Pn＋2Pn－1＝3×131－Pn－1＋2Pn－1＝1＋Pn－1＝54＋P2024＝14＋(－14)×(－13)2023＞14，角度2an+1＝an·f(n一个书包中有标号为“1，1，2，2，3，3，…，n，n”的2n张卡片，一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回，如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为Pn，则P3＝，P7＝.解析：2n张卡片选取3张卡片的选法共有C2n事件“手中这3张卡片中含有2张相同卡片”的选法共有n(2n－2)种，由古典概型的计算公式可得其概率为n(2n拿掉这对卡片后，还剩(n－1)对卡片，此时书包为空的概率为Pn因而Pn＝32n－1Pn－则P3＝32×3－1P7＝313×311×39×37×答案：35角度3an+1＝p·an＋q·(多选)棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn，设P0＝1，则下列结论正确的有()A.P1＝12，P2＝34，P3B.数列{Pn－Pn－1}(1≤n≤99)是公比为C.2P100＜P99＜P98D.P100＞1解析：选ABD.对于A，根据题意，第0站P0＝1，硬币掷出正面到达第1站，所以P1＝12从第0站硬币掷出反面，或从第1站硬币掷出正面，到达第2站，所以P2＝12＋12×12从第1站硬币掷出反面，或从第2站硬币掷出正面，到达第3站，所以P3＝12×12＋34×12＝58对于B，从第(n－2)站，硬币掷出正面到达第(n－1)站，所以Pn－1从第(n－2)站硬币掷出反面，或从第(n－1)站硬币掷出正面，到达第n站，所以Pn＝12Pn即Pn－Pn－1＝－12而P1－P0＝12－1＝－1所以数列{Pn－Pn－1}(1≤n≤99)是以－12为首项所以Pn－Pn－1＝－12－1对于C，P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P2－P1)＋(P1－P0)＋P0＝－1299＋－1298＋…＋而P99－P98＝－1所以P98＝23而当棋子跳到第99站时，游戏停止，故P100＝12P98＝1从而得到2P100＝23故P99＜2P100＝P98，故C错误；对于D，P100＝12P98＝131+1299＞[规律方法]概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：(1)当出现an＝an－1＋m时(2)当出现an＝xan－1＋y时(3)当出现an＝an－1＋f(n)时(4)当出现anan－1＝f(n对点练2.如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格，直到飞机移到第(n－1)(n≥5且n∈N)格(失败集中营)或第n格(胜利大本营)时，游戏结束.则飞机移到第3格的概率为，游戏胜利的概率为.012345…n－1n解析：记飞机移动到第i格的概率为Pi(1≤i≤n－1，i∈N)，则P1＝13，P2＝23＋13P1P3＝23P1＋13P2＝Pi+1＝13Pi即Pi+1＋23Pi＝Pi所以数列Pi＋所以Pi＋23Pi－1＝P2＋2即Pi－35＝－2又P1－35＝－4所以数列Pi－35是以－415所以Pi－35＝－415－所以Pi＝35＋2因为第n格只能由第(n－2)格跳到，Pn－2＝35＋2所以游戏胜利的概率P＝23Pn－2＝25＋415－2答案：132725＋415－23n－[课下巩固检测练(三十六)]概率统计中的递推关系(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)1.A，B，C，D四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从A开始，5次传球后球回到A手中，则不同的传球方法种数为()A.24 B.60C.92 D.144解析：选B.设有k个人A1，A2，…，Ak互相传球，从A1开始，每人每次可以把球传给其他任何一个人，设第n(n≥2)次传球后球回到A1手中的方法有an种，则第(n－1)次传球后球回到A1手中的方法有an－1种，且易知a2＝k－1，则第(n－1)次传球后，共有(k－1若此时球在A1手中，则第n次传球，球不可能回到A1手中，故数列{an}的递推关系式为an＝(k－1)n－1－an－1(n≥3)所以a2＝3，a3＝(4－1)3－1－a2＝6，a4＝(4－1)4－1－a3＝21，a5＝(4－1)5－1－a4＝60.2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成()A.10块 B.11块C.15块 D.16块解析：选D.设n刀最多能将饼切成an块，前n－1刀我们已经得到an－1块，对于第n刀，要使切出的块数最多，则这一刀的刀痕必须与前n－1刀的刀痕都相交，在此刀痕上有n－1个交点，则最多增加n块，从而得到递推公式为an＝an－1＋n从而累加得到an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋2＝1＋n(n+1)2.当n＝5时，3.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13.记第n次推送时不购买此商品的概率为Pn，当n≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为A.97132 B.C.97120 D.解析：选A.由题意知，根据第(n－1)次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率，第n次(n≥2)推送时不购买此商品的概率Pn＝34Pn－1＋23(1－P所以Pn－811＝1由题意知P1＝911，则P1－811＝所以Pn－811是首项为111所以Pn－811＝111×即Pn＝811＋111×显然数列{Pn}递减，所以当n≥2时，Pn≤P2＝811＋111×112所以M的最小值为971324.甲、乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得－1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令Pi表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则P1＝()A.55－355C.2×555解析：选C.由题意可知，i的取值集合为{0，1，2，3，4，5，6}，且P0＝0，P6＝1，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.5P2，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.2P1，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为0.3P0，根据全概率公式可得P1＝0.5P2＋0.2P1＋0.3P0，整理得P2＝85P1－35P变形得P2－P1＝35(P1－P0)因为P1－P0＞0，则P2－P同理可得P3－P2P2－P1所以{Pi+1－Pi}(i＝0，1，2，…，5)是公比为3所以Pi+1－Pi＝35i(P1－P0)(i＝0，1，2，…各项求和得∑i=15(Pi+1则P6－P1＝(P1－P0)·35即1－P1＝P1·35－3561－5.(多选)水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制(即先赢2局者胜)，首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.以下说法正确的是()A.在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量X，则PX＝2B.记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量Y，则PY＝3C.甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为1D.记事件Cn＝“第n轮甲轮空”，则PCn＝13解析：选ACD.对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件：①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜或者在第二和第三局胜，故PX=2＝(12)2＋2×(12对于B，依题意，易得PY=3＝(12)3＝18≠对于C，设Ai＝“甲在第i轮获胜”，依题，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均胜；或者第一轮输，第三轮胜两类情况.则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为P(A2｜A3)＝P(A2A3)P(A3)对于D，因Cn＝(Cn－1Cn)∪(Cn－1Cn)，且Cn－1Cn与Cn由全概率公式，P(Cn)＝P(Cn－1Cn)＋P(Cn－1Cn)＝P(Cn－1)P(Cn｜Cn－1)＋P(Cn－1)P(Cn｜Cn－1)＝12(故P(Cn)－13＝－12［P(Cn－1)－13］，又P(C1)则{P(Cn)－13}组成一个首项为－13，公比为－1于是，P(Cn)－13＝－13×(－12)n－1，即P(Cn)＝16.(多选)投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”就是指“投壶”这个游戏.现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶.无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为23，乙每次投壶的命中率均为12，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为12，则A.第3次投壶的人是甲的概率为43B.在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为21C.前4次投壶中甲只投1次的概率为1D.第10次投壶的人是甲的概率为35－110解析：选ABD.设第i次投壶的人是甲为事件Ai，第i次投壶的人是乙为事件Bi.因为PAi＝23PAi－1＋12[1－P(Ai－1)]，所以PAi所以PAi－35＝16PAi－1－35，而PA1＝所以PAi－35是首项为－1所以PAi－35＝－110×16i－1，所以PA对于A，PA3＝35－110×162＝35－1360＝215对于D，PA10＝35－110×169对于B，PA3B1＝12×12×12＋12×12×23＝724，故P对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为P＝12×13×12×12＋12×12×13×12＋12×12×12×13＋127.若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在3次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是.解析：每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，记事件Ai＝“第i次运动后停留在下底面”，则Ai＝“第i次运动后停留在上底面”，i＝1，2，…，n，…设P(An)＝an，则P(An)＝1－an，则P(An＋1)＝P(An)·P(An＋1｜An)＋P(An)P(An＋1｜A所以an＋1＝23an＋13(1－an)，即an＋1＝13an＋13，整理可得an＋1－12＝13(由a1＝23，a1－12＝16，即{an－12}是首项为16则an－12＝16·(13)n－1，即a故n＝3时a3＝16·(13)2答案：148.(2025·福建福州模拟)在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格O出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边(如第1次运动，机器人可以运动到Q1，Q2，Q3或Q4).若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为.解析：如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在O处的概率为an，在①处的概率为bn，在②处的概率为cn，在③处的概率为dn.则cn＝14bn－1，dn＝12bn－1，an＝14bn－1，bn＝14cn－1＋12dn－1＋将cn＝14bn－1，dn＝12bn－1，an＝14bn－1代入到bn＝14cn－1＋12dn－1＋an－1中，得bn＝9又由题意得b1＝1，b2＝0，则bn＝9所以b2025＝9161012＝342024，则a2025＝14b2024＝0，c2025＝14b2024＝0，d2所以概率P＝a2025＋b2025＋c2025＋d2025＝34答案：39.(2025·河北廊坊高三期末)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6.由抽签确定第1次投篮的人选