黑龙江省研远联合考试高三上学期第一次教学质量检测试题数学

黑龙江省研远联合考试2026届高三上学期第一次教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合，,则（

）A． B．C． D．2．下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（

）A． B． C． D．3．已知数列的前项和公式为，则（

）A．10 B．20 C．30 D．404．从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（

）A． B． C． D．5．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．设，且，则（

）A． B． C． D．7．已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，若，则（

）A． B．C． D．10．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（

）A． B．C． D．的面积等于的面积11．如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（

）

A．三棱锥的体积为定值B．存在点P，使得C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为三、填空题12．设，，则与的夹角．13．若直线与函数的图象相切，则．14．已知数列通项公式，则数列的前9项和为.四、解答题15．已知函数，其中，．(1)求的单调递增区间；(2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值．16．已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求证：；(3)已知，求数列的前项和.17．如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，．(1)证明：；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为．①求证：为定点；②直线交直线于点，记，求证：为定值．19．已知函数，．(1)若曲线在处的切线斜率为1，求的值；(2)讨论的零点个数；(3)若时，不等式恒成立，求的最小值．

参考答案1．B【详解】由可得，则.故选：B.2．A【详解】．故选：A3．A【详解】当时，，当时，由，①有，②①减②得：，即，当时，满足，所以，所以，故选：A.4．B【详解】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为：，共种情况，其中符合所取两个数之和为5，共种情况，所以所取两个数之和为5的概率是.故选：B5．A【详解】因为，，，所以.故选：A.6．B【详解】由题设，所以，因为，则，又因为，则，又，所以，解得．故选：B7．B【详解】由题意知，由为等腰三角形，且，得，过作垂直轴于，如图所示，则在中，，故，，所以，即，代入直线的方程，得，即，所以所求的椭圆离心率为.故选：B.8．A【详解】由正弦定理，原等式可化为，若，整理得，故，因为，所以.由正弦定理，，则，其中为锐角，，因为，故当时，取得最大值为.故选：A.9．ABD【详解】定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以恒成立，所以单调递增，因为，所以，A选项，因为单调递增，所以，A正确；B选项，因为单调递增，所以，B正确；C选项，，但与大小不确定，例如，，此时满足，但，此时，C错误；D选项，因为，画出函数图象，如下图：

可知单调递增，所以，D正确.故选：ABD10．ABD【详解】对于选项A：由几何性质可知，且，可得，所以，故A正确：对于选项B：设直线的方程为，，联立方程，消去y可得，则，即，由条件知同号，所以.则，可得，因为，则，同理可得，则，故B正确；对于选项C：因为，可得，当且仅当时，，故C错误；对于选项D：设，由，可知直线关于直线对称，所以.因为，可得.则，，所以的面积等于的面积，故D正确.故选：ABD.11．ACD【详解】对于A，在正方体中，平面平面，则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设，，，不垂直，因此不存在点P，使，B错误；对于C，连接，平面，平面，则，而，又平面，则平面，又平面，则.同理得，又平面，则平面，由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面与底面交线，即为线段，又，C正确；

对于D，取中点为，连接，平面，由平行于，平面，得，又，则平面，又取中点为，则，有四点共面，则平面平面.平面即为平面，设平面分别与交于，由平面平面，平面，平面，则，又都是中点，则是中点，同理是中点，于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则，所以截面面积为，D正确.

故选：ACD12．【详解】因为，，设与的夹角为，，所以，所以．故答案为：．13．【详解】设直线与函数图象的切点为，，，，，，，又在直线上，，．故答案为：．14．【详解】，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．则，．则数列的前9项和．故答案为：．15．(1)；(2).【详解】（1）依题意，，由，解得，，所以的单调增区间为.（2）由（1）得，则，由，得，于是，解得，由及正弦定理得，，所以.16．(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由，，成等差数列，得，①当时，，∴，得（舍去），当时，，②①②得，，∴，又，∴，∴是首项为2，公差为1的等差数列，∴，故；（2），故（3）由（1）知，当是奇数时，，当是偶数时，，综上.17．(1)证明见解析(2)存在，．【详解】（1）因为，，，所以，则．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．（2）存在，由（1）知，平面且，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设，则．设平面的一个法向量为，则，故可取．设点到平面的距离为，则，解得或（舍）．所以在线段上存在点，且．18．(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析.【详解】（1）由题设，，则双曲线方程为．（2）①设，且，的直线方程为，的直线方程为．设，，联立直线与双曲线方程有，化简得，由韦达定理知，有，代入直线有．则联立直线与双曲线方程，化简有，由韦达定理知，有，代入直线有设，，，由得，化简得，可得，则．②设直线方程为，则有联立方程组，化简得，则，由知，由知，．19．(1)(2)答案见解析(3)【详解】（1），依题意，，解得．（2）的零点的根．设，①当时，没有零点；②当时，，所以在内是增函数．取，取，所以在上有且仅有一个零点；③当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而．当时，没有零点；当时，在上有且仅有一个零点；当时，，取，取，所以在上有两个零点．综上，当时，没有零