2026年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷03（解析版）

1/22026年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（考试时间：80分钟；满分：100分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分）1．已知复数，则z的虚部为（

）A．3 B．2 C．2i D．【答案】B【详解】复数，则z的虚部为2.2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，.3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，则，所以充分性成立；反之：若，可得，即，解得，所以必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.4．已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】根据上四分位数的定义求出的范围，结合选项，即可得答案.【详解】依题意，，故为该组数据按照从小到大排列后的第6个数，则.5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（

）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】构造指数函数模型，计算即可.【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故选：C.6．已知平面向量满足，与的夹角为，则（

）．A．7 B．1 C． D．【答案】B【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可.【详解】因为.故选：B.7．若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致，即可求出的解集.【详解】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致，所以在上单调递增，且，由可得：且,或且,所以或时，故不等式的解集为.8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解.【详解】由，得，即，所以.所以.9．某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得在抽取的100人中，男生60人，女生40人，故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是.10．若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由三角函数的图象性质，初步缩小的范围，再由给定的范围，代入原函数即可求解.【详解】设函数的最小周期为，则，由题意可知，即，解得，因为，，所以，又因为，所以，，则或，解得或，所以的取值范围为.11．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立【答案】B【详解】由题意可得，，，对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误；对于B，的情况只有面4，故，又，满足，故B正确；对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误；对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面，故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4，故，所以，不满足独立事件定义，故D错误．12．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，则下列说法中不正确的是（

）A．不是“可分集合”B．是“可分集合”C．四个元素的集合可能是“可分集合”D．五个元素的集合不是“可分集合”【答案】C【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得.【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确；对于B，集合所有元素之和为，当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意，因此集合是“可分集合”，B正确；对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则，于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误；对于D，不妨设，若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾，因此集合不是“可分集合”，D正确．故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分）13．下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断【详解】对于，因为，，所以，故正确；对于，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D，当时，满足，但，此时，故D错误，故选：AB14．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．B．是偶函数C．的值域为D．，且，恒成立【答案】ACD【分析】根据题意，结合函数的奇偶性以及单调性的定义，以及指数函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】函数的定义域为，，故A正确；因为，故B错误；由于，则，，所以，即函数的值域为，故C正确；由于在定义域上为增函数，故在定义域上为增函数，即有时，，将式子中的换为，可得当时，，故D正确.故选:ACD15．在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（

）A．球的表面积是B．直线与直线是异面直线C．正四棱台的体积是D．直线与平面的夹角是【答案】AC【分析】直接根据表面积公式计算判断A；根据内切球心在上下底面中心的连线上判断B；分别取的中点，则根据内切球的性质得等腰梯形内切圆与各边都相切，再结合几何关系求得，最后计算体积判断C；根据C求得，再求解直线与平面的夹角判断D.【详解】对于A，由于内切球的半径是2，故球的表面积是，故A选项正确；对于B，正四棱台的内切球心在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面中，故B选项错误；对于C，如图，分别取的中点，则四边形是等腰梯形，且是侧面梯形的高，因为正四棱台中存在内切球，所以等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点，根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，设，则，，所以，即，解得，即.所以正四棱台的体积是，故C选项正确；对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足，即，设直线与平面的夹角为，则，故D选项错误.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）16．计算：___________.【答案】【分析】根据对数的定义,幂的运算法则计算.【详解】．故答案为：．17．设函数的表达式为，若且，则的取值范围是______________.【答案】【分析】根据题意可得，化简得，再利用基本不等式即可求解.【详解】由题意可得，化简可得：.，当且仅当时，等号成立.所以的取值范围为.故答案为：.18．三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______.【答案】【分析】由线面垂直关系证明平面，求底面的外接圆半径，进而根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积.【详解】如图所示，在中：，因此，即.在中：，因此，即.因为，且平面，根据线面垂直判定定理可得：平面.是边长为的等边三角形，由正弦定理，其外接圆半径满足：，解得，即.外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于，设球心到平面的距离为，由，得：，即，已知，故，，外接球半径满足：由球的表面积公式，代入得：.19．在中，，，则的面积的最大值为___________．【答案】/【分析】先利用正弦定理和两角差的正弦公式可得，再利用余弦定理得出，化简得出，最后利用面积公式化简得出一元二次函数求出最值.【详解】记内角的对边分别为，因为，所以，由正弦定理得，由余弦定理可得，所以，又，所以，又，所以，所以，所以当，即时，取得最大值，最大值为．解答题（本大题共3小题，共34分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（11分）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；(2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；(3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．【答案】(1)；(2)300人；(3)【分析】（1）由所有频率之和为1求解；（2）由年龄在内的频率计算求解；（3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.【详解】（1）由题可知组距为，则：解得：.（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人.（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：.21．（11分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；（2）由平面平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又，，又平面，平面，由平面，所以平面平面；（3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又因为平面，所以，故为二面角的平面角，即设，在中，，作，垂足为，由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.22．（12分）已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)若有两个不相等的实根，且①求的取值范围；②证明：．【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案；（2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案②根据①得到，，且满足，即，计算出，又，代入后求出.【详解】（1）由可得，所以，即，解