定积分的背景-教学设计省课

定积分的背景

数学王乃雪江西高安二中382317596@qqocom

【教学目标】

lo知识目标

通过曲边梯形的面积问题、变速直线运动物体的路程问题、变力

做功问题理解定积分概念的形成的基本思想，初步了解、感受定积分

的实际背景。

2o能力目标

通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、

求和、取极限”的步骤分析问题的方法，从而培养学生的逻辑思维能

力；体会“以直代曲”，“逼近"的思想，理解用极限的思想方法思考

与处理问题,从而培养学生的创新意识。

3.。情感目标

对不同背景下的问题中蕴含的统一数学内涵的过程的揭示，认识

到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中

蕴含的理性美产生发自内心的欣赏情感。

【教学重难点】

1o教学重点

了解以直代曲、逼近的数学思想，初步掌握求曲边梯形面积的步

骤。

2.教学难点

曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

介绍我国魏晋时期的数学家刘徽以及他的“割圆

术”：

刘徽（约公元225年一295年），山东殆淄人，魏

晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之

一。他的杰作《九章算术》，是中国最宝贵的数学遗

刘徽（约公元225年―295年）

产，影响、支配中国古代数学的发展1000余年，是

东方数学的典范之一，与希腊欧几里得的《几何原本》所代表的古代

西方数学交相辉映。

他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾

股形的计算原理；定义许多重要数学概念解决了多种几何形、几何体

的面积、体积计算问题；创造了割圆术，运用极限观念计算圆面积和圆

1.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗？可以用正12边形

来表示吗？

2O要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确，应该怎么办?

3.用内接正多边形的面积来表示圆的面积，怎么计算圆周率Ji?

割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失

矣。刘徽

二、新课讲授

曲边梯形的概念：

由三条直线x轴、x=a、x=b和一条曲线

），=/围成的封闭图形，就叫做曲边梯形。

提问：我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法，那

怎么求曲边梯形的面积？

探究一、求曲边梯形的面积

问题1:求由x轴、直线x=l和曲线y=Y

图形的面积

（一）分割

为了计算曲边梯形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形，如下图

所示.

图2图3

（二）近似代替

提问：

lo我们将曲边梯形分割后，可以用图1或者图2中的小矩形的面

积和来代替由x轴、x=a、x=b和曲线)，=/围成的图形的面积吗？

2O如果还有比较大的误差，我们可以怎么做使误差变小？

3.将区间［0,1］分的越细，误差越小吗？

在图1和图2中不断增加小矩形的数量，得到的阴影部分的面积

会越来越接近由x轴、直线x=l和曲线犬2

围成的面积，而图3中的面积会越来越小，直

至无限接近于0.因此，只要区间分的够细小,

我们就可以用图1或者图2中的矩形的面积

来近似代替由x轴、x=a、x=b和曲线y=/围

成的图形的面积。下面以图1为例求不足近

似的面积。

把区间［0,1］等分成n个小区间：41；

nnnnnn

每个区间长度为,，第j个小矩形的高度为(3)2,所以第j个小矩形的

nn

面积为_LX(3)2。

nn

(三)求和

S=S]+S+---+S=­[(—)2+(—)2+•••+(---)2+--)2]

2nnnnnn

=-4[02+/+2?+…+(n-1)。=4-xl(n-l)n(2n-1)

nn6

(四)逼近(求极限)

当分割无限变细，即〃—>+oo时，S=-5?x-^(n-l)n(2n-l)->^,所以

n63

所求曲边梯形的面积为g。

练习1:仿照上面求不足近似面积的方法

求图2中由x轴、直线x=l和曲线＞=/围

成的图形的过剩近似面积

探究二、变速运动的路程问题

提问：

1.匀速直线运动路程公式是什么？

2.若以时间为横坐标，速度为纵坐标建立坐标系，那么路程可以

用什么表示？

3o如果是变速直线运动，路程怎么求？

问题2：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一

过程中汽车的速度v是时间t的函数：可。=*_10/+25（0«”5）,请估计

1.仿照问题1中的近似方法将时间区间[0,5]5等分，得到

的不足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算？将区间[0,5]10

等分呢？

2.哪种分法得到的面积误差较小？，如果还要使误差更小，怎

么办?

首先将滑行时间5等分，若用u(0),WDM2),W3),v(4)近似表示各时

间区间的平均速度，得到滑行距离是

=lv(O)+v(l)+v(2)+P(3)+v(4)JX1=55(/7?);若用M)#(2),u(3),贝4)#(5)近似

表示各时间区间的平均速度,得到滑行距离是

s；=[v(l)+v(2)+v(3)4-v(4)+v(5)Jx1=30(/7?)0

为了使误差更小，将滑行时间10等分，用类似的方法求得过剩近

似值为电=[v(0)+v(0.5)+v(l)+M.5)+…+v(4)+v(4.5)]x0.5=48.125(/n);不足

近似值为y=W(0.5)+v(l)+v(1.5)+v(2)+…+v(4.5)+v(5)]x0.5=35.625(m)o

按照这样的思路继续将时间分细，我们就会得到更精确的估计

值，当小时间间隔长度趋于0时，这两种估计值就都趋于汽车滑行的

路程。

方法归纳总结：

求曲边梯形的面积分为以下几个步骤

1.将区间分割；

2.近似代替(一般用不足近似和过剩近似两种代替方法);

3.求近似面积和;

4.求极限，让〃f+oo,得到准确面积。

练习2：

由直线x=1,y=0和曲线y=/围成一个曲边

梯形，将区间[0,1]4等分，则曲边梯形面积的近

似值(过剩近似)是()o

O0.250.50.75

Ao1B.HlC."D.身

1925627064

三、小结

求曲边梯形面积四步曲：

1.分割一＞化整为零

2.近似代替一＞以直代曲

3.求和一＞积零为整

4.逼近--＞刨光磨平

四、作业：

(思考题)一根弹性系数为004N/c