大学物理下课后习题详解

第十二章真空中的静电场

12.1如图所示，在直角三角形/8CD的4点处，有点电荷/=1.8'10位,3点处有点电荷也=48*10支,NC=3cm,

BC=4cm,试求C点的场强.

［解答了根据点电荷的场强大小的公式

922

E=k&=—'——工,其中1/(4"fo)=*=9.OxlONmC-.

厂4啊)厂

点电荷外在C点产生的场强大小为：

941

£,=——-^T=9X10X-^-^4=1.8X10(N-C-)

12

4^0AC(3x102)2

方向向下.

点电荷放在。点产生的场强大小为

948X1Q41

E2=—LM1=9X10X/=2.7X10(N-C-).

24g)BC2(4xl0-2)2

方向向右.

c处的总场强大小为

E=7^I2+^2=0.9V13X104=3.245X104(N-C'),

总场强与分场强E2的夹角为。=arctan'=33.69°.

12.2半径为R的一段圆弧，圆心角为60。，，半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电

线密度分别为+♦和求圆心处的场强.

1解答］在带正电的圆弧上取一弧元

d?=R60,电荷元为dg=2ds,

在。点产生的场强大小为

1dq1

d卜,—________—______A_d_s_—___A___d8,

47r与R24冗R24%R

场强的分量为dE*=dEcos®,dE,.=dEsinO.

对于带负电的圆弧，同样可得在。点的场强的两个分量.由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴

正方向，大小为

E=2Ev=\dEsm3

】乃/6【万/6

二」^fsin6de=」一(-cos。)

2%7?*2与R0

12.3均匀带电细棒，棒长a=20cm,电荷线密度为1=3棒/&Cm”,求:

(1)棒的延长线上与棒的近端d\=8cm处的场强；

(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距4=8cm处的场强.

［解答］(1)建立坐标系，其中L=a/2=0.1(m),x=L+d}=0.18(m).

在细棒上取一线元d/,所带的电量为dg=2d/,

根据点电荷的场强公式，电荷元在Pi点产生的场强的大小为

7dqAd/

d£,-k—--------------------

r2(x-/)2

场强的方向沿X轴正向.因此B点的总场强大小通过积分得

l2fd//1L

E［=-----------------------=------------------

—4兀4x—t-

1112Z2

=------(----7-----7)=­：-----3~VT.

4不£0x-Lx+L4万£()x-L

将数值代入公式得P,点的场强为

„°in92x0.1x3x10-8,,

=9x10X----------------------------=2.41X103(NC''),

10,182-0.12

方向沿着X轴正向.

(2)建立坐标系，y=t/2-

在细棒上取一线元d/,所带的电量为dq=/ld/,

在棒的垂直平分线上的&点产生的场强的大小为

八一"q_%d/

亚2-k——--»

r4万4r

由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为d&.=d&sin0.

由图可知：r="z/sin。,I=/以必

所以d/=-dzdJ/sir?。,

因此d£v=------sinOde,

47T£0d2

总场强大小为

L2A

J—fsinOde=----:—cos。

兀£/

421=-L4乃£&l=-L4%£,2dd[+/l=-L

=_1__-②

4^0d2y［dl+e

将数值代入公式得p2点的场强为

rcI八92x0.1x3x10-8

£=9x10X--------；-----^—7=5.27X103(N.C').

>0.08(0.082+0.12),/2

方向沿着y轴正向.

［讨论］(1)由于L=a/2,x=L+4,代入①式，化简得

„AaA1

4=------------------------=------------------------------,

兀

4g/id［+a47reQdidja-\-\

保持4不变，当。一8时，可得

E,f2,③

4兀2/1

这就是半无限长带电直线在相距为4的延长线上产生的场强大小.

(2)由②式得

_2aA1

£=---------------------------------=--------------!

'4兀£&+伍/2)24码出4)2+(1/2)2

当Q—8时，得

12九£/?

这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果力=4,则有大小关系跖=2所.

12.4一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问。为何值时,

［解答］设电荷线密度为人先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强.

在圆弧上取一弧元ds=Rd°,

所带的电量为

屯=2击，

在圆心处产生的场强的大小为

dq_2dsA

dE=kA(p,

r24冗£。R?A/R

由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

d£v=-d£cos^.

=—————sin—»方向沿着x轴正向.

274火2

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.

根据上•题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为

E'=2,

由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在。点产生的合场强为

E=2Ecos—=-----cos—,方向沿着x轴负向.

22兀£小2

当。点合场强为零时，必有Ex=E[,可得tan^/2=1,

因此0/2=7r/4,所以0=nil.

12.5•宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为如图所示.试求：

(1)平板所在平面内，距薄板边缘为〃处的场强.

(2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.

[解答](1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为心的带电宜线，电荷的线密度为cU=odx,

根据直线带电线的场强公式E=-----

2兀£/

得带电直线在P点产生的场强为

d/c)d-X

dE-------=-------------------，其方向沿x轴正向.

2兀£/2府0(8/2+a—％)

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

b/2]_b/2

E=—-[------------dx=——ln(6/2+〃-x)

2兀A22bl2+a—x24%.人2

ln(l+-).①

2万4a

场强方向沿x轴正向.

(2)为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取•宽度为白的带电直线，电荷的线密度仍然

为d2=adx,

带电直线在。点产生的场强为

」厂d/ladx

d£=-----=-------；---^—777

27rr24£初~+)丁

沿z轴方向的分量为

bcosOdx

dE=dEcos®=

z2兀%⑹+^2)'2

设x=4tan0,贝lldx=ddO/co/O,因此

dE,=d£cos6=-^—d。

2几

积分得

arctan(6/2d),

E_=fadO--^-arctan(--).②

-arctan(6/2d)2兀£。兀*02d

场强方向沿Z轴1E向.

［讨论］(1)薄板单位长度上电荷为a=M,

①式的场强可化为

_Aln(l+h/a)

匕r=，

27r/。h!a

当b-0时，薄板就变成•根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

E^^―，③

2404

这正是带电直线的场强公式.

〜rlAarctan(b/2d)

(2)②也可以化为E7=---------------------

2兀£/bl2d

当时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

2兀£/

这也是带电直线的场强公式.

当bf8时，可得：E.—>-^―,④

2%

这是无限大带电平面所产生的场强公式.

12.6(1)点电荷q位于一个边长为。的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？

(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？

［解答］点电荷产生的电通量为<Pe=q/f：0.

(1)当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每•面的电通量为01=GJ6=g/6%.

(2)当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为科

=0/24=q/24ea-,

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零.

12.7面电荷密度为“的均匀无限大带电平板，以平板上的一点。为中心，K为半/r----——7

径作一半球面，如图所示.求通过此半球面的电通量./(\/

［解答］设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面.球面内包含的/^~~O)/

电荷为q=nR2a,/、-//

通过球面的电通量为d>c=qif：o,

2

通过半球面的电通量为0-,=或/2=jtRa/2e0.

12.8两无限长同轴圆柱面，半径分别为R和自(&>/?2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为，

和-2,求(1)r</?(2)&<"刈；(3)r>R?处各点的场强.

［解答］由于电荷|S分布具有轴对称性，所以电函分布也具有轴对称性.

(1)在内圆柱面内做•同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E=0,(r<7?1).

(2)在两个圆柱之间做一长度为/,半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=M,

穿过高斯面的电通量为

0(,=JjEdS=LEdS=E2仃I，

根据高斯定理玄=4/£0，所以

E="，(/?!<r<7?2).

2兀£/

(3)在外圆柱面之外做•同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

£=0,(尸>&2)・

12.9•厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为"，求板内外各点的场

强.

［解答］方法一：高斯定理法.

(1)由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心

E'

面：E=E'.

在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯

面的电通量为

£E-dS=E-dS+£E-dS+fE-dS

=ES+E'S+0=2ES,

高斯面内的体积为y=2rS,包含的电量为q=pV=2prS,

根据高斯定理0=q/久，

可得场强为E=pr/e。,(0=r=J/2).①

(2)穿过平板作一底面积为S,高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为孰=2ES,

高斯面在板内的体积为M=Sd,包含的电量为q=pV=pSd,

根据高斯定理①e=q/&0,

可得场强为E=pd12go，&=曲2).②

方法二：场强叠加法.

(1)由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r

下面板中取一薄层dy,面电荷密度为

da=pd)s

产生的场强为dE|=do/2£o,

积分得

f辿=2(”)，③

J/22%242

同理，上面板产生的场强为

E④

2掩嗤《八

r处的总场强为E=Ey-E2=pr/en.

(2)在公式③和④中，令r=d/2,得

E2=OsE=E\=pd/2e0,E就是平板表面的场强.

平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面

的场强，也能得出②式.

12.10一半径为火的均匀带电球体内的电荷体密度为p,若在球内挖去一块半径为R'vR的小球体，如图所示，试求

两球心O与。处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为匀强电场.

［解答］挖去•块小球体，相当于在该处填充块电荷体密度为的小球体，因此，空间

任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加.

对于一个半径为R,电荷体密度为p的球体来说，当场点P在球内时，过尸点作一半

径为〃的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

2143

EAjvr=-----7ir'p

£。3

。点场强大小为E=-^-r.

3^0

当场点尸在球外时•，过。点作一半径为厂的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

14?

E47rr92=----TCR3p

£。3

尸点场强大小为E

3犷

。点在大球体中心、小球体之外.大球体在。点产生的场强为零，小球在o点产生的场强大小为

pR

Eo=,方向由。指向。'.

03犷

o,点在小球体中心、大球体之内.小球体在点产生的场强为零，

的场强大小为

EQ-=0a,方向也由。指向。'.

3%

［证明］在小球内任一•点P,大球和小球产生的场强大小分别为

E,.=止-r,E.=止-r',方向如图所示.

设两场强之间的夹角为仇合场强的平方为

22222

E=E；+£?.+2ErErcos0=(-^-)(r+r'+2rr'cos^)，

3%

根据余弦定理得

a2=r2+r'2-2rr'cos(^-0),

所以E=2Q,

3%

可见：空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明：场强的方向沿着。到。'的方向.因此空腔内的电场为匀强电场.

12.11如图所示，在48两点处放有电量分别为气和-4的点电荷，48间距离为2R,现将另一正试验电荷q0从

。点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功.

［解答］正负电荷在。点的电势的和为零：U°=0;

在c点产生的电势为/D\

nq.-q-q“一-4\―►

Ur=-------------1-------=------，-\-n-dC

44437?4兀%R6兀£QR'

电场力将正电荷g。从。移到C所做的功为图12.11

印=q§UoD=qn(U()-U［))=q^qlftitEnR.

12.12真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面力和8.4平面的电荷面密度为2。，8平面的电荷面密度为

两面间的距离为".当点电荷g从4面移到8面时，电场力做的功为多少？

［解答1两平面产生的电场强度大小分别为

EA=2<r/2eo=o/跖，Es=。/2砌，

两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总、场强大小为E=EA-EB=。—

方向由4平面指向B平面.

两平面间的坐势差为U=Ed=ad/2e0,

当点电荷g从4面移到B面时，电场力做的功为W=qU=qodl2%.

12.13一半径为R的均匀带电球面，带电量为。.若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？

1解答］带电球面在外部产生的场强为E=。2，

4g/

50

；；f0L-0Q

由于UR-UX=[Edl=\Edr=[,dr=—^―

««t4fr4frR4兀无R

当必=0时，^=--^―-

4万既7?

12.14电荷0均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心广(r<R)处的电势为

22

TTQ(3R-r)

_8fH3.

［证明］球的体枳为P=3万R3,电荷的体密度为£=

3V4%代

利用12.10题的方法可求球内外的电场强度大小为E=—r=―2_r,(rWR)；

3%4兀£小一

E=―,。工R).

4乃生广

取无穷远处的电势为零，则厂处的电势为

00

U=\;E(H=\Edr+\Edr=Rcrdr+c=^―cr2R+^c-

,•4g'R'14g)厂8吟Rr4^0rR

8%£。&'4兀8兀£点

12.15在y=-b和y=/>两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为0,

(1)求此带电系统的电场分布，画E-y图：

(2)以y=0作为零电势面，求电势分布，画E-y图.

［解答］平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E=E',但方向相

反.

(1)在板内取•底面积为S,高为功的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的

法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

(P=［EdS=［EdS+fE-dS+fE-dS=2ES.

©JSJSiJ&JS°

高斯面内的体积为V=2yS.

包含的电量为q=pV=2pSy,

根据高斯定理d=M：o,

可得场强为E=py/e(),(-b=y=b).

穿过平板作一底面积为S,高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为a=2ES,

高斯面在板内的体积为K=S2hf包含的电量为q=pV=pSlhj

根据高斯定理孰=q&、

可得场强为E=pb/训，(b=y)；E=-pb/兔,(y=­b).

E-y图如图所示.

(2)对于平面之间的点，电势为

在歹=0处U=0,所以。=0,因此电势为U=-^—,(-h^y^b).这是一条开口向下的抛物线.

2%

当y叁6时，电势为。=—(E.dl=—f皿dy=—皿、+。，

JJ%%

在y=b处U=-冠/2£。,所以C=p/?2/2£o，因此电势为U=—y4-,(b=y).

42%

当yw*时，电势为U=_］E-dI=［-^-dy^-^-y+C>

JcF

J°0°0

在y=-b处U=-pb~/2£()T所以C=//2e(),因此电势为U—~—y+~~--,

42%

两个公式综合得U=-^-\y\+^-,

42%

这是两条直线.

Sy图如右图所示.U-y图的斜率就形成E-y图，在卜=±6点，电场强度是连续的，

因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y=±6点相切.

［注意］根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量.根据其

他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即

U=—JE-dl这是因为积分的起点位置是积分卜限.

12.16两块“无限大”平行带电板如图所示，1板带正电，8板带负电并接地(地的电势为零)，设

A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷(T=3.3X10-6C-m-2,求：A

(1)在两板之间离［板1.0cm处P点的电势；*

(2)A板的电势.p

［解答］两板之间的电场强度为E=o题,方向从力指向8.

以B板为原点建立坐标系,MG=0,rP=-0.04m,rA=-0.05m.

(DP点和B板间的电势差为图12.16

=jEdl=jEdr==5_%),

£

rPrP0

由于q=0,所以P点的电势为

TT3.3x10-6

UpP=-8--.8--4--x--1--0---1-2X0.04=1.493x1()4(V).

(2)同理可得z板的电势为

)=1.866X】04(V).

UA=一(七一弓

%

12.17电量g均匀分布在长为2。的细直线上，试求：

(1)带电直线延长线上离中点为r处的电势；

(2)带电直线中垂线上离中点为r处的电势；<'|,

(3)由电势梯度算出上述两点的场强.-LoidiLPix

I解答］电荷的线密度为k=q/2L.

(1)建立坐标系，在细线上取一线元d/,所带的电量为附=4/,

根据点电荷的电势公式，它在多点产生的电势为

1/Id/

dU1=

4兀4r-I

A.rd/—2Lqr+L

总电势为U\=-----------=-------ln(r-/)-―--in------

4兀4_Lf-l47r%l=_L3兀％Lr-L

(2)建立坐标系，在细线上取一线元d/,所带的电量为dg=%d/,

在线的垂直平分线上的尸2点产生的电势为

.rr--d/

2一4%(八尸严’

枳分得

L

—^―(―,],d/=—^―ln(Vr2+/2+/)

U

24万名!(/+/2)|24f

l=-L

q.Vr2+Z>2+Lq,Vr2+Z2+L

=-------In/----=--——In-----------------・

2

8兀%LVr+1}-L4吗Lr

(3)q点的场强大小为

g=一--L)乜3

dr8兀£QLr-Lr+L44£(,r~-L~

方向沿着x轴正向.

P2点的场强为

E=dU2=q4__________]_________]=qi

加A吟LrJ/+£2(J/+£2+£)430―jQ+一

方向沿着y轴正向.

［讨论］习题12.3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为

12£4一

E1］—--------------,由于2LX=q,取x=r,就得公式①.

4盘。12_£2

(2)习题12.3的解答还计算了中垂线上的场强为

17/)

E='-------取d?=可得公式②.

4^od^d1+l}

由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算.

12.18如图所示，-个均匀带电，内、外半径分别为R和/?2的均匀带电球壳，所带

电荷体密度为0,试计算：

(1)48两点的电势；

图12.18

（2）利用电势梯度求4,B两点的场强.

［解答］（1）4点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此4点的电势就等于球心。点的电势.

在半径为r的球壳处取•厚度为dr的薄壳，其体积为

dK=4ar2dr,

包含的电量为d（/=pdK=4即,2",

在球心处产生的电势为

dU。=-^—=旦尸dr,

球心处的总电势为

R、

Uo=^-\rdr=/-（R^-R：）,

%/?12%

这就是4点的电势必.

过8点作球面，8的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的.

球而外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得

5=§（R；T）-

2%

球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势.球壳在

球面内的体积为

4

y=_兀（/_R：）,包含的电量为Q=pv，

这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为

Q_p（5〉

。2=

4434%

B点的电势为Ug=U\+U2—0-(37?;—fg—2—―).

64rB

dU,

(2)/点的场强为EA=--虫=0.

B点的场强为EB=

［讨论］过空腔中/点作一半径为，•的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中4点场强为

E=0,（rS/?1）.

4

过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为V=~7T（r3-R：）,

包含的电量为q=p%

根据高斯定理得方程4/E=极,

可得3点的场强为E=2什_与,（%叁，•叁&）.这两个结果与上面计算的结果相同.

3^0r

4

在球壳外面作一半径为厂的同心球形高斯面，面内球壳的体积为丫=丁（璀一吟,

包含的电量为q=pV,

根据高斯定理得可得球壳外的场强为E=-J&-个）,（&叁『）.

4%/3j/

A点的电势为

U，=jEd=jEd-jo"+j2(一与曲

P

(R；-%・

2%

B点的电势为

/力皿十端善d展念3—生

A和B点的电势与前面计算的结果相同.

12.19一圆盘，半径为R,均匀带电，面电荷密度为<7,求：

(1)圆盘轴线上任一点的电势(用该点与盘心的距离x来表示)；

(2)从电场强度的和电势梯度的关系，求该点的电场强度.

(此题解答与书中例题解答相同，在此省略)

12.20(1)设地球表面附近的场强约为200V皿、方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量.

(2)在离地面1400m高处，场强降为20V加、方向仍指向地球中心，试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度.

［解答］地球的平均半径为/?=6.371xl06m.

(1)将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量.

根据公式E=-%0,电荷面箔度为。=-6()£地球表面积为S=4zR、

地球所带有的总电量为。=。5=-4点加铝=-/£"，左是静电力常量，

八(6.371xl06)2x200、

因此电量为。二一3-----------《-------=-9.02x105(C).

9xl09

(R+h『E'

(2)在离地面高为6=1400m的球面内的电量为Q--------------=-0.9X105(C),

k

大气层中的电荷为?=e-2'=8.l2xlO5(C).

由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体枳约为K=WA=0.714xl0l8(m3).

平均电荷密度为p=q!V=1.137xl0l2(Cm-3).

第十三章静电场中的导体和电介质

13.1啼电量为g,半径为〃的金属球4与源先不带电、内外半径分别为电和々

的金属球壳8同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将/和B连接起来，

则4球的电势为多少？(设无穷远处电势为零)

［解答］过户点作个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内

只有电荷g.根据高斯定理可得E4/=q%,

可得P点的电场强度为E=—J.

47T£0r

当金属球壳内侧会感应出异种电荷-g时，外侧将出现同种电荷/用导线将4和8连接起

图13.1

来后，正负电荷将中和.A球是•个等势体，其电势等于球心的电势.A球的电势是球壳外侧的

电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是小所以4球的电势为U=」—

4万％/

13.2同轴电缆是由半径为R的导体圆柱和半径为R,的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相

对介电常数为叩的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+2和乩则通过

介质内长为/,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？

［解答］介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为八长为/的圆柱形高斯面，根据

介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即4>d=q=)J.

设高斯面的侧面为So,上下两底面分别为母和52.通过高斯面的电位移通量为

念=-dS=(DdS+工DdS+{D-dS=2^rZD,

可得电位移为D=其方向垂直中心轴向外.

电场强度为E=D砥即=*2联#:/,方向也垂直中心轴向外.

13.3金属球壳原来带有电量0,壳内外半径分别为a、/),壳内距球心为，一处有

一点电荷g，求球心。的电势为多少？

［解答1点电荷g在内壳上感应出负电荷p,不论电荷如何分布，距离球心都为a.外壳上就有电荷g+。，距离球为b.球

心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为

%=-L2+-L工-L-

"47rr4万a4乃％b

13.4三块平行金属板4B和C,面积都是S=lOOcm?,A.B相距4=2mm,A,C相距dz=4mm,B、C接地，A

板带有正电荷g=3><10找：，忽略边缘效应.求

(1)B、C板上的电荷为多少？

(2)A板电势为多少？

［解答］(1)设/的左右两面的电荷面密度分别为17,和外，所带电量分别为

41=<7|S和g2=。母，

在B、C板上分别感应异号电荷-矶和-仅，由电荷守恒得方程

g=卬+［2=gS+6s.①

A,8间的场强为&=0/珈，

力、C间的场强为Ei=<72^0-

设/板与8板的电势差和/板与C板的的电势差相等，设为AU,则

AU=E&=E2d2,②

即。必=③

解联立方程①和③得a,=qd2/S(d}+d2),

所以gi=<7|S=gd2/("i+d2)=2xlo'(C)；?2=<7'?I=lx10-8(C).

8X8

B、C板上的电荷分别为%=-?1=-2xlO-(C);<7C=-<72=-II0-(C).

(2)两板电势差为MJ=E0=6d依o=qd\d-［+d。

9

由于《=9*1O'=1/Meo，所以£0=10-/36^,

因此AU=144;r=452.4(V).

由于8板和C板的电势为零，所以S=AU=452.4(V).

13.5•无限大均匀带电平面4带电量为g,在它的附近放一块与4平行的金属导体板8,板8有一定的厚度,

如图所示.则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？

［解答］由于板3原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q^q2?

的+%=0・①殄

虽然两板是无限大的，为了计算的方便,不妨设它们的面积为S,则面电荷密度分别为o、=q«S、P

02=q$S、a=q/Sr

它们产生的场强大小分别为E1=o限、E2=<r2/eo'E=㈣.

在B板内部任取一点P,其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和/板产生的场强向左，取8：\4

向右的方向为正，可得E］-E2-E=0,

即或者切-仪+9=0・②图I”

解得电量分别为q2=q/2,q、=q=-ql2.

13.6两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V,两板间相距为1.2mm,忽略边缘效应，求每•个金

属板表面的电荷密度各为多少？

I解答］由于左板接地，所以6=0.

由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，1234

所以6=0.由于两板带等量异号的电荷，所以。2=-。3.

两板之间的场强为E=a3/e0,而E=U/d,

所以面电荷密度分别为

72

o3=e()E=风U/d=8.84x10-(Cm-),「

72

a2=-a}=-8.84xlO'(C-m-).

图13.6

13.7—球形电容器，内外球壳半径分别为幻和&，球壳与地面及其他物体相距很远.将内

球用细导线接地.试证：球面间电容可用公式c=~以表示.

(提示；可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>公)

1证明］方法-：并联电容法.在外球外面再接一个半径为自大外球壳，外壳也接地.内球

壳和外球壳之间是一个电容器，电容为

„.1.RR,

C,=4码------------=4烟一

1°°R

1

外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为G=444------------

外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联.当&趋于无穷大时，C2=4m：0R2.并

联电容为

RR4码戌

C=G+G=4f+4肉。&=-

方法二：电容定义法.假设外壳带正电为g,则内壳将感应电荷g'.内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果.由于

内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为

0,

44£o44兀％R[

R

因此感应电荷为夕'=——-q

氏2

根据高斯定理可得两球壳之间的场强为E=?2=-------------2下，