小学数学第六章　§6.4　6.4.1　平面几何中的向量方法

§6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法学习目标1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.体会向量在解决数学问题中的作用.一、利用向量证明平面几何问题例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.反思感悟(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素之间的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”.(2)向量运算有两种思路①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算.②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算.跟踪训练1如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED=AFFB=12.求证：点E，O，二、利用平面向量求几何中的长度问题例2如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长.反思感悟用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=x2+跟踪训练2在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.三、利用平面向量求几何中的角度问题例3如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且BD=12DC.(1)AD的长；(2)∠DAC的大小.反思感悟(1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可.(2)要注意两向量的夹角和要求角的关系.跟踪训练3若正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE=.1.知识清单：(1)利用向量证明平面几何问题.(2)利用平面向量求几何中的长度、角度问题.2.方法归纳：转化法、数形结合法.3.常见误区：不能将几何问题转化为向量问题.1.在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)=0，则△ABC()A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形状无法确定2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形3.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于()A.-725 B.725 C.0 D4.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM-AB-AC=0，则△ABM与△ABC的面积之比为.

答案精析例1证明方法一设AD=a，AB=b，则|a|=|b|，a·b=0.又DE=DA+AE=-a+b2AF=AB+BF=b+a2所以AF·DE=b+a=-a22-34a·=-12|a|2+12|b|2故AF⊥DE，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则AF=(2，1)，DE=(1，-2).因为AF·DE=(2，1)·(1，-2)=2-2=0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE.跟踪训练1证明设AB=m，AD=n，由CEED=AFFB=12，知E，F分别是CD所以FO=FA+AO=13BA=-13m+12(m+n)=16m+OE=OC+CE=12AC=12(m+n)-13m=16m+所以FO=OE.又点O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同一直线上.例2解以A为坐标原点，以AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC=(3，3)，设AE=λAC，则点E的坐标为(3λ，3λ)，故BE=(3λ，3λ-3).因为BE⊥AC，所以BE·AC=0，即9λ+3λ-3=0，解得λ=14，所以E3故ED=94，-34，即ED的长为212跟踪训练2解设AD=a，AB=b，则BD=a-b，AC=a+b，所以|BD|=|a-b|=a=1+4-2a·b=则5-2a·b=4，即a·b=12又|AC|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=1+4+2×12=6所以|AC|=6，即AC=6.例3解(1)设AB=a，AC=b，则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13=23AB+13AC=23∴|AD|2=2=49a2+49a·b+1=49×9+49×3×3×cos+19×9=3∴|AD|=3，即A