小学数学第六章　6.4.3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.一、距离问题例1如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求A，B两点的距离.跟踪训练1某海轮以30nmile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，则P，C间的距离为()A.20nmile B.207nmileC.30nmile D.307nmile二、高度问题例2(1)如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为()A.(30+303)m B.(30+153)mC.(15+303)m D.(15+153)m(2)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是()A.10m B.102mC.103m D.106m跟踪训练2为测量某塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A，C，D在水平地面上，塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD=18m，AD=15m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，求塔AB的高度.(3≈1.732，精确到0.1m)三、角度问题例3已知岛A处的一艘故障船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时，位于岛A南偏西38°方向相距3海里的B处有一艘救援艇要去支援，问救援艇以多大速度以及朝何方向行驶，恰好用0.5小时能追上该故障船？参考数据：sin38°≈反思感悟测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角度和长度，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.跟踪训练3一艘客船在A处测得灯塔B在它的北偏东75°，在A处测得灯塔C在它的北偏西30°，距离为182nmile.客船由A处向正北航行126nmile到达D处，再看灯塔B在它的南偏东60°，则AB=nmile；设灯塔C在D处的南偏西θ°，则θ=.1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：方位角是易错点.1.某中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观某厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B，C处测得雕塑最高点的仰角分别为30°和20°，且BC=5m，则该雕塑的高度约为(参考数据：cos10°≈0.985)()A.4.925m B.5.076mC.6.693m D.7.177m2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以计算出A，B两点的距离为()A.502m B.503mC.252m D.2523.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC=60m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为()A.202m B.302mC.203m D.303m4.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()A.32 B.2C.3-1 D.2-1

答案精析例1解在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°，∴∠CBD=90°-45°=∠BCD，∴BD=CD=40，BC=BD2+在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60°+45°=105°，∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理，得AC=CDsin30°sin45°=20在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠BCA=(202)2+(402)2-2×202×402cos60°=2400，∴AB=206，故A，B两点之间的距离为206m.跟踪训练1B例2(1)A(2)D跟踪训练2解AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，过点E作EF⊥AB，交AB于点F(图略)，则有EF=AD，AF=DE，在Rt△ECD中，因为∠ECD=30°，所以DE=CD·tan∠DCE=18×tan30°=63，在Rt△BEF中，因为∠BEF=60°，所以BF=EF·tan∠BEF=15×tan60°=153，则AB=BF+AF=BF+DE=153+63=213≈36.4(m).例3解如图，设救援艇在C处追上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/时，则BC=0.5x(海里)，AC=5(海里)，依题意，得∠BAC=180°-38°-22°=120°，又AB=3海里，由余弦定理，可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°=32+52-2×3×5×-12所以BC=0.5x=7，解得x=14.又由正弦定理，得si