有理函数和可化为有理函数的积分

4.4有理函数和可化为有理函数的积分4.4.1有理函数的积分4.2.2可化为有理函数的积分2.简单无理函数的积分1.三角函数有理式的积分4.4.1有理函数的积分1．有理函数的分解（1）有理函数(a0b0≠0)（1）(ii)如n<m,这有理函数是真分式,如n≥m，则可将其化为一个多项式加上一个有理真分式的形式；两个多项式的商表示的函数.(i)如存在x0使Pn

(x0)=Qm

(x0)=0，这说明它们有公因子(x－x0)，可约去。例（2）有理函数的分解（其中p2－4q<0，r2－4s<0），

可分解成如下部分分式之和：其中Ai，…，Bi，Mi，Ni，…，Ri，Si等都是常数其中A1、A2、A3，B1，C1，

B2，C2是待定常数。（3）系数如何确定方法一：比较系数法。

对于例1中的(a),去分母得两端去分母，比较同次幂的系数得方程组，解方程组可得。方法二：赋值法。在（3）式中，令x=－1，

去分母后所得恒等式中代入x的特殊值从而求出待定系数。令x=0，得－2=2A+C，C=0得－3=3A，A=－1，

令x=1，得－1=3A+2(B+C)，B=1。“特殊值”：首先是Qm(x)=0的实根，然后是一些另外的使计算量较小的值，如0，±1，±2等。去分母得令x=－1，得0=8－4B+2C－2令x=2，得9=－1+2B+2C+4令x=0，得1=－A，即A=－1令x=1，得2=D解得B=2，C=12.积分方法前两种类型的积分容易，后面的两类稍难，下面通过实例来练习它们的积分方法。有理真分式可分解成下列四种类型的部分分式之和，从而有理函数的积分可归结为下面四种类型部分分式的积分：例3

求积分解例5

求积分解解：原式而它的积分可根据递推公式：后一个可视为当n=2时，3．说明:

(1)有理函数的原函数都是初等函数。(2)有些初等函数尽管原函数存在，但无法表成初等函数，如

(3)上面给出了有理函数积分的一般方法，但往往不是最好的方法，特别是在分母的次数较高时。解：原积分解：原积分解：原积分4.4.2可化为有理函数的积分一、三角函数有理式的积分1.三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为“万能代换”：可将它化为有理函数的右侧是u的有理函数的积分问题。利用积分：2.例题解：注：对于有理函数，三角函数有理式的积分，先考虑用前面的方法，然后考虑用常规方法。二、简单无理函数的积分1．形如的积分令被积函数是u的有理函数。2．形如令解：令3.例题解：令解此时可令两边微分：此时可令解：说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.不定积分习题课一、内容与要求1、理解原函数、不定积分的概念及性质2、熟悉不定积分的基本公式共23个公式要记熟。3、掌握不定积分的两类换元法第一类换元法（凑微分法）常见类型：常用代换:第二类换元法（代入换元法）4、掌握分部积分法u、v的选取原则：(2)“对、反、幂、三、指”，前者为u.5、会综合运用各种积分方法计算积分.6、三类特殊类型的函数的积分。(3)“还原法”，“抵消法”。二、典型例题例1设f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx,解：设lnx=t，则x=et，原式变形为当t≤0时，当