湖南省湘潭市2024-2025学年九年级下学期初中学业水平模拟数学试题

湖南省湘潭市2024-2025学年九年级下学期初中学业水平模拟数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．3的相反数是（）A．3 B．−3 C．33 2．下列计算正确的是（）A．a3⋅a2=a6 B．3．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如下右图是其中一种卯，其俯视图是（）A． B．C． D．6．2025年2月28日“七星连珠”发生时，火星与地球的距离约为126000000千米，126000000这个数用科学记数法表示为（）A．126×106 B．1.26×106 C．7．已知反比例函数y=6x的图象上有两点A(3,m)，A．m>n B．m<n C．m=n D．不能确定8．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，若∠AOC=144°，则A．36° B．72° C．108° D．144°9．下列说法正确的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为360∘B．计算22+3C．已知5个实数分别为：13，D．当k<0时，关于x的一元二次方程x210．设a，b都是不为0的实数，且a≠b，a+b≠0，定义一种新运算：①a∗b=b∗a；②a∗b2=a2∗b2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）11．写出一个绝对值比3小的实数．12．分解因式：x3−9x=13．方程组2x+y=5x−y=1的解为14．马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知OA=OB，∠A=55°，则∠BOD的度数为．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点C，若AB=BC，则k的值为16．3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是．17．如图，平行四边形ABCD中以点D为圆心，适当长为半径作弧，交DA、DC于E、F，分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧交于点P，连接DP并延长，与BC交于点G，若AD=5，AB=3，则BG的长为18．我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、nm>n，则nm三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：1220．先化简：a−2a+1⋅a21．如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90∘，点E在BC上，（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，AB=10，22．“中国非遗”代表人物李子柒停更三年，2024年11月12日回归依旧“顶流”．某校兴趣小组为了了解本校学生对李子柒的喜爱程度，在初三（1）和（2）班各随机抽取了10位同学展开问卷调查，并形成了如下的调查报告（不完整）调查目的了解本校学生对李子柒的喜爱程度调查方式随机抽样问卷调查调查内容对“中国非遗”代表人物李子柒的喜爱程度评分（评分分数用x表示，其中x<60为不喜欢，60≤x<80为比较喜欢，80≤x<90为喜欢，90≤x≤100为非常喜欢）调查结果初三（1）班的评分数据：50，68，80，85，86，88，95，98，100，100初三（2）班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：82，84，86，86图1初三（1），（2）班评分统计表班级平均数中位数众数满分率初三（1）班858710020初三（2）班85a100b图2初三（2）班评分扇形统计图根据以上信息，解决下列问题：（1）填空：a=___________，b=___________；（2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可）（3）该校初三年级共800人，试用所学统计的知识估计该校初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数是多少？23．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：①A型无人机模型的单价比B型贵800元；②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同．（1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？（2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案．24．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，（1）求证：∠ADC=∠DBC；（2）若测得CD=22，tan∠C=25．如图1，直线y=−x−3与x、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2x+c的图象经过点B，与x轴交于D、E两点（点D在点E左侧），且顶点C1,m也在直线AB上，（1）求该抛物线的关系式；（2）如图2，连接BD、BE，直线OP与BE相交于点F，若以E、O、F为顶点的三角形与△ABD相似，请求出点F的坐标；（3）如图3，点Q也为抛物线一动点，连接PQ交抛物线对称轴于点M．若CP⊥CQ，点M是否是一定点？若是，请直接写出点M坐标；若不是，请说明理由．26．如图1，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E为DC的中点，F为边AB上一动点，连接FE并延长至点G，使得EG=FE，连接FD、DG、GC、CF．（1）四边形DFCG一定是___________（填特殊四边形的名称）；（2）若当F运动到AB的中点时，四边形DFCG是矩形．设AB2AD⋅BC（3）若AD=2，AB=6，BC=mm>2，是否存在这样的点F，使得四边形DFCG为矩形，若存在，请求出FE

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】1（答案不唯一）12．【答案】x(x+3)(x-3)13．【答案】x=214．【答案】110°15．【答案】216．【答案】117．【答案】218．【答案】419．【答案】解：原式=2−=(2+2−1)−=3−320．【答案】解：原式=a−2a+1·a+12a+2a−2−1a+2=a−1a+2−1a+2

=aa+2，

21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90∴AD∥CE，∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图：∵四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE=3，∵AE平分∠BAC，∴EF=CE=3，∴S22．【答案】（1）85；30（2）解：我认为初三1班更喜欢李子柒，理由如下：初三1班和初三2班的平均数相同，但是初三1班的中位数较高，说明初三1班学生一半以上同学喜欢李子柒；（3）解：初三1班非常喜欢李子柒的人数有4人，初三2班非常喜欢李子柒的人数有3人，

∴被抽查的20人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：3+420×100%=35%，

∴该校初三年级共800人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：800×3523．【答案】（1）解：设B型无人机的单价为x元，则A型无人机的单价为x+800元，由题意得：12000x+800解得：x=1600．经检验x=1600是原方程得解且符合题意，x+800=2400，答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元．（2）解：设购买A型无人机a台，则购买B型无人机(10−a)台，由条件得：2400a+160010−a解得：103≤a≤5，且∴a=4或5，所以，由两种购买方案，第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台；第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台．24．【答案】（1）解：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠ODC=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵∠DBC=∠ADB+∠OAD=90°+∠OAD．

又∵∠ADC=∠ODC+∠ODA=90°+∠ODA，

∴∠ADC=∠DBC（2）解：由（1）可知∠ODC=90∘，在Rt△ODC中，tan∠C=ODDC=OD22=24，

∴OD=1，AB=2

在Rt△ODC中，由勾股定理得OC=OD2+DC2=12+(22)2=3，

∴CA=4．

又∵∠ACD=∠DCB，∠ADC=∠DBC，

∴△ACD∼△DCB，

∴ACDC25．【答案】（1）解：当x=0时，y=−3，令y=0，则x=−3，

∴点A的坐标为(−3,0)，点B的坐标为(0,−3)，

当x=1时，y=−4，

∴点C的坐标为(1,−4)，

把(0,−3)和(1,−4)代入得：

c=−3a−2+c=−4，解得a=1c=−4，

（2）解：令y=0，则x2−2x−3=0，解得x=−1或x=3，

∴点D的坐标为(−1,0)，点E的坐标为(3,0)，

∴OA=OB=OE=3，AD=2，

∴∠BAE=∠AEB=45°，即∠BAD=∠OEF=45°，

∴AB=BE=OA2+OB2=32，

当△EOF∽△ABD时，EFAD=OEAB，即EF2=332，

解得：EF=2，

过点F作FG⊥x轴于点G，则EG=FG=1，

∴OG=2（3）存在，M26．【答案】（1）平行四边形（2）解：如图所示：

∵F是AB的中点，四边形DFCG是矩形，

∴AF=BF=12AB,∠DFC=90°，

∴∠AFD+∠BFC=90°．

∵∠ADF+∠AFD=90°，

∴∠ADF=∠BFC，

∵∠A=∠B=90°，

∴△ADF∽△BFC，

∴ADBF=AFBC，

∴BF⋅AF=AD⋅BC，

即12AB⋅（3）解：存在点F，使得四边形DFCG为矩形．理由如下：

如图，∵四边形DFCG是平行四边形，

∴当∠