福建福州市福清市2025-2026学年高二下学期期中适应性练习数学试题 含答案

/2025-2026学年第二学期福清市高二年级期中适应性练习数学学科友情提示：请将所填写到答题卡上!请不要错位､越界答题!一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（）A.2秒时水管的流水量B.2秒内水管的流水总量C.2秒时水管流水量的瞬时变化率D.2秒内水管的流水量的平均变化率【正确答案】C【详解】根据导数的定义可知：的实际意义是2秒时水管流水量的瞬时变化率.2.某商场有5台不同型号的激光导航款和6台不同型号的视觉导航款扫地机器人.从中购买1台，不同选法的种数为（）A.11 B.30 C. D.【正确答案】A【详解】根据加法计数原理，不同选法的种数为.3.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C. D.2【正确答案】B【详解】函数在区间上的平均变化率为.4.某算力租赁平台有6种不同型号的加速卡，每种仅1张可供租赁，甲､乙､丙3家公司同时从中各租用1张AI加速卡，每张卡只能租给一家公司，则不同租赁方案的种数为（）A.9 B.15 C.18 D.120【正确答案】D【详解】方案数为排列数．5.若函数在处可导，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用导数的定义求解.【详解】因为函数在处可导，所以.故选：B.6.如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最大的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】结合图象，根据导数的几何意义判断即可；【详解】由图可知，，从图象可以看出函数在处切线的斜率大于在处切线的斜率，所以最大.7.已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（）A.4 B. C.2 D.【正确答案】B【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可.【详解】，因为在处取得极值为2，所以f1=2f当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，所以在处取得极值，当时，单调递增，所以.8.已知，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据三个数的特征构造新函数，利用导数判定函数的单调性，最后比较大小即可.【详解】设fx=2当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，因为a=且，所以，即.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知且、，则（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】利用组合数的性质可判断AB选项；利用排列数公式可判断CD选项.【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，A对；对于B选项，由组合数的性质可得，B对；对于C选项，An对于D选项，当时，Anm当时，Anm10.的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式共7项B.展开式无常数项C.含项的系数为D.展开式中有理项共4项【正确答案】BD【详解】对于A，由二项式的展开式共有8项；所以选项错误；对于B，由二项式，可得展开式的通项为：，.令，可得不是整数，所以无常数项，所以B选项正确；对于C，令，可得，则项的系数为，所以C选项错误；对于D，令，解得，所以展开式中有理项共4项，所以D选项正确.11.已知函数单调递增区间为，则（）A.的取值集合为B.是的极小值点C.当时，D.当时，【正确答案】BCD【分析】根据导数与函数单调性的关系，结合极小值点定义、函数的单调性逐一判断即可.【详解】A：，因为函数单调递增区间为，即的解集即为，由于在R上单调递增，故，则；当时，，所以此时函数是实数集上的增函数，不符合题意；当时，，这与单调递增区间为不符，所以，因此本选项说法不正确；B：由上可知：，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以是的极小值点，因此本选项说法正确；C：当时，因为，所以，由上可知在上单调递减，所以在上单调递减，所以有，因此本选项说法正确；D：当时，由上可知在上单调递减，所以在是单调递减，因为，所以，因此本选项说法正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在10件产品中，有8件合格品，2件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，恰好有1件是不合格品的抽法有__________种.（请用数字作答）【正确答案】56【详解】从2件不合格品中选1件：，从8件合格品中选2件：，根据分步乘法计数原理，总抽法数为：．13.已知，则__________.【正确答案】【分析】在等式两边求导，再令，可得出所求代数式的值.【详解】在等式两边求导得，令可得.14.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为______.【正确答案】【分析】依题意，利用长方体体积公式即可得出该方盒容积的函数解析式，并求出该函数的定义域，利用导数可求得的最大值.【详解】如下图所示：由题意知，无盖方盒的底面为正方形，边长为，高为，所以方盒的容积Vx由6−2x>0x>0，可得，即函数的定义域为V'单调递增极大值单调递减所以函数的最大值为V1=16，即该方盒容积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.甲､乙､丙､丁､戊五个同学排队.（1）这五个同学排成一排，甲､乙不相邻，共有多少种不同排列方法？（2）这五个同学排成两排，第一排个人，第二排个人，共有多少种不同的排列方法？【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用插空法，先排无限制的丙、丁、戊产生空位，再将甲、乙插入空位中排列，由分步计数原理相乘即得；（2）解法一:直接分步从五人中选二人排在第一排、余下三人排在第二排；解法二：五人全排列后按顺序截断为两排.【小问1详解】甲､乙､丙､丁､戊五个同学排成一排，且甲､乙不相邻，可分两步进行：第一步，先排丙､丁､戊，有种不同的排法；第二步，在丙､丁､戊周围的四个空隙中插入甲､乙，有种不同的排法；由分步计数原理，共有不同排法数为.【小问2详解】解法一：甲､乙､丙､丁､戊五个同学排成两排可分两步进行：第一步，第一排个人，有种不同的排法；第二步，第二排个人，有种不同的排法；由分步计数原理，共有不同排法数为.解法二：甲､乙､丙､丁､戊五个同学排成一排有种不同的排法；⋯把每种排列中的前两个放第一排，余下放第二排，故共有不同排法数为.16.求下列函数的导数.（1）；（2）.【正确答案】（1）（2）【小问1详解】因为，所以．【小问2详解】因为y=x+1所以y'17.在的展开式中，__________.给出下列条件：①所有项的二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15.试从这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）选择见解析，常数项均为160.（2）.【分析】（1）选①，，则，写出展开式的通项公式，求出常数项；选②，令，则，则，写出展开式的通项公式，求出常数项；选③，易知，则，写出展开式的通项公式，求出常数项；（2）由（1）知，根据展开式的通项公式求出每一项，比较后得到结论；【小问1详解】若选①，易知，则，此时的展开式的通项公式为，令得，故常数项为C632若选②，令，则，则，此时的展开式的通项公式为，.令得，故常数项为.若选③，易知，所以nn−12=15(此时的展开式的通项公式为，.令得，故常数项为.【小问2详解】由（1）知展开式的通项为，由于，，，，，，，故展开式中系数最大的项为第5项，.18.已知函数的图象在点处的切线斜率为.（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）若函数恰有两个零点，求实数的取值集合.【正确答案】（1）（2）单调递增区间为、，单调递减区间为（3）【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于的等式，解之即可；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；（3）分析可知的图象与直线恰有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【小问1详解】因为fx=x依题意，得f'2=12+4【小问2详解】由（1）知，fx=x令得或；令得；所以的单调递增区间为、，单调递减区间为.【小问3详解】函数恰有两个零点，等价于关于的方程恰有两个实根，等价于的图象与直线恰有两个交点.由（2）知，在、上单调递增，在上单调递减.函数的极大值为f−2=−8+32由图可知，当或时，的图象与直线恰有两个交点.所以当恰有两个零点，实数的取值集合为.19.已知函数.（1）求的最小值；（2）当时，，求的取值范围；（3）证明.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值；（2）由题意可知，lnx−ax−1x+1≥0对任意的恒成立，令hx=lnx−a（3）由（2）可得当时，，当且仅当时等号成立，令x=n+1nn∈N*，可得，可得，，、，利用不等式的可加性可证得结论成立.【小问1详解】由题意可得，则，当时，，所以在内单调递增，当时，，所以在内单调递减，故在处取得最小值，最小值为.【小问2详解】当时，x+1fx≥ax令hx=lnx−h'当时，