福建省泉州四校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 含答案

/2026年春季期中考高二数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在的展开式中，含项的系数是（）A.21 B.84 C.-21 D.-84【正确答案】B【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中的次数为2,求出对应的值，最后代入通项求出含项的系数.【详解】展开式的通项为：，令，则，系数为故选:B.2.函数在处的瞬时变化率为（）A. B.1 C.6 D.12【正确答案】D【分析】求导计算即可.【详解】因为，所以在处的瞬时变化率为12.故选：D3.随机变量与满足，若，则（）A.8 B.5 C.4 D.2【正确答案】A【分析】借助方差性质计算即可得.【详解】.故选：A.4.遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（）A.150种 B.180种 C.240种 D.300种【正确答案】A【分析】先计算出将5本不同的宣传册分成3组的情况，再计算分配方式即可求出.【详解】第一步：分组将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况：①3－1－1型：分组数为（种）；②2－2－1型：分组数为（种）合计：（种）．第二步：分配将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）．根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）．故选：A．5.某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75【正确答案】A【分析】据给定条件，由全概率公式列式，求解计算即可求出结果.【详解】记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，由对立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得故选：A6.已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由构造，得到其单调性，对不等式变形后得到，从而由单调性解不等式，求出答案.【详解】令，则，因为对任意的都有，所以，所以在上单调递减，不等式等价于，即，所以，解得，故选：D．7.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题设应用排列组合数求{数学不排第一节，物理不排最后一节}、{化学排第四节}的安排方法数，求出、，应用条件概率公式求目标概率.【详解】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节.若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种；若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种；综上，事件A的安排数有种；事件：化学排第四节.若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种；若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种；综上，事件B的安排数有种；5科任意排有种，所以，，故满足条件的概率是.故选：B8.若，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据不等式的次方性质，逐项比较大小，即可判断.【详解】因为，所以，又，，所以，所以，设，则，当时，，仅当时等号成立，则在上单调递减，而，故，即，所以，综上所述，可得.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（）A.共有种排列方式． B.若两个“将”相邻，则有种排列方式．C.若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D.若同色棋子不相邻，则有种排列方式．【正确答案】ACD【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可.【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确；B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，故共有种情况，B错误；C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确；D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确.故选：ACD10.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）A.第2026行的第1013个数最大B.第8行所有数之和为256C.D.记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则【正确答案】BCD【分析】A选项：先明确杨辉三角第2026行第个数对应组合数,再利用组合数对称性与最大值规律,得出最大,对应行数推得第1014个数为该行最大值,从而判定A错误.B选项：依据杨辉三角第行所有二项式系数之和为的性质,直接代入行数,计算的值即可验证B正确.C选项：运用组合数性质,给原式补充再整体消去1,逐项递推合并组合数,最后算出并作差得到结果,以此判断C正确.D选项：先推出数列通项,对裂项变形,再利用裂项相消求和,消去中间项后化简式子,得到前项和的最简表达式,进而判定D正确.【详解】A错，因为第行的第rr≤2027个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第行的第个数最大；B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为；C对，因为；D对，由题意知，故D正确.11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的有（）A.若，则B.时，的单调递减区间为C.时，为的极值点D.时，无零点【正确答案】ABD【分析】对A，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对B，根据条件，直接求出的减区间，即可求解；对C，根据条件得恒成立，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对D，根据条件，利用导数，求出的单调区间，进而得恒成立，即可求解.【详解】易知的定义域为，，对于A，因为，则，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，当时，，由，解得，又在处有意义，所以的单调递减区间为，故B正确；对于C，当时，，因为，所以恒成立，当且仅当时取等号，故在区间上单调递增，则无极值点，故C错误；对于D，因为，当时，易知在区间上单调递减，又时，，，所以，使得，即，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，令，则，当时，，则在区间上单调递增，所以，即，所以恒成立，无零点，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X的分布列为X123P则的值为________________．【正确答案】21.2【分析】根据表中数据，可求得，再由离散型随机变量分布列的均值的性质公式即可得解.【详解】由表中数据可知，，根据离散型随机变量分布列的均值公式可知，故21.2本题考查了离散型随机变量均值的求法，加减乘法变化后均值求法，属于基础题.13.已知，，，则________.【正确答案】##0.5【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及互斥事件、对立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解.【详解】由，即，解得，又，即，解得，而，则，所以.故14.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________________．【正确答案】【分析】分析函数的奇偶性并求导，利用基本不等式得出导数大于0，进而得出函数单调递增，将不等式化简为，分离参数后构造新函数，分析函数单调性并求出最小值，利用恒成立条件构造不等式，进而求出实数a的取值范围．【详解】函数的定义域为，是奇函数，求导得，由基本不等式得：，当且仅当时取等号且，，在上严格单调递增，由，得，，分离参数得：，在上恒成立，令，利用，化简得，设，求导得，在上严格单调递增，的取值范围为：，令，求导得，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得最小值：，即在上的最小值为，要使恒成立，只需，即的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．【正确答案】（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值.【小问1详解】由题意知，则所以曲线在点处的切线方程为，即．【小问2详解】的定义域为，由（1）知，令，得或；令，得或，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和．易知的极大值为，极小值为．16.甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．【正确答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出；（2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解.【小问1详解】从甲箱中任取2个小球的事件数为，这2个小球同色的事件数为，所以这2个小球同色的概率为．【小问2详解】设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥．，，，，，，所以，所以取出的这个小球是白球的概率为．17.已知函数存在两个极值点、，记、．（1）若，求的值；（2）若曲线上存在点，使得，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据函数有极值点可求出的取值范围，求出、，进而可得出点、的坐标，再根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值；（2）分析可知点在线段的中垂线上，于是可知方程存在正数解，则函数存在正零点，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】因为，则，因为函数有两个不等的极值点、，则，可得，令，解得，，因为，，此时、，所以，整理可得，解得.【小问2详解】因为、，则，所以点在线段的中垂线上.又在曲线上，则方程存在正数解，即在存在零点.可知，由可得，由可得，故在上单调递增，在上单调递减.因为，由零点存在定理可知，只需即可，可得，又因为，解得，所以的取值范围为.18.某种比赛采用“局胜”制（即累计先赢局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）．（1）当时，若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；（2）如果选择以下方案中的一种：方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为．方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为．比较和的大小；（3）记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为，记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为，证明：．【正确答案】（1）分布列见解析，（2）（3）证明见解析【分析】（1）由题意，所有可能值为2，3，进而求出对应的概率，再根据期望的公式求解即可；（2）结合二项分布的概率公式分别求出、，即可比较大小；（3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，由题意，，可得，再结合全概率公式求得，进而求证即可.【小问1详解】由题意，，，即采用3局2胜制，所有可能值为2，3，则.则的分布列如下，23所以.【小问2详解】由题意，采用“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜，则；在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利，设甲赢的局数为，那么服从二项分布，即，则，所以.【小问3详解】设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为：若第2局甲输，则后续最多局比赛，甲至少胜局，若第2局甲胜，则后续最多局比赛，甲至少胜局，由全概率公式得，故.19.已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数a的取值范围；（3）若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围．【正确答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.【分析】（1）求出函数的定义域，再利用导数分类求出单调区间.（2）利用导数求出函数的单调区间，再将给定不等式等价转化并分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可.（3）由给定等式可得，令，将表示为的函数，再利用导数求出的范围，结合函数的单调性即可求出范围.【小问1详解】函数中，当时，；当时，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，求导得，令，解得，