甘肃甘南藏族自治州临潭县第二中学2025-2026学年第二学期高一数学期中考试试题 含答案

/临潭县第二中学2025-2026学年第二学期高一数学期中考试试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．考试范围：湘教版必修第二册第1-3章第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数为纯虚数，则（）A. B. C.0 D.1【正确答案】D【详解】因为为纯虚数，所以，且，解得．2.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.在菱形中一定有 D.共线向量一定是在同一条直线上的向量【正确答案】C【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】对于A，若，则与大小相等，方向不确定，故A错误；对于B，若时，则与方向不确定，故与可能共线也可能不共线，故B错误；对于C，由菱形，可且，所以，一定有，故C正确；对于D，两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量，规定零向量与任一向量为平行向量，平行向量又称共线向量，故共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故D错误.故选：C.3.已知向量，，且，则（）A. B. C.4 D.1【正确答案】C【详解】由.4.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B. C.2 D.3【正确答案】D【详解】由正弦定理得，解得.5.已知α为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由同角的正余弦的平方和求得，进而求得，再利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为α为第二象限角，且，所以，则，所以．故选：D.6.已知向量，满足，，，则（）A. B.1 C.2 D.3【正确答案】B【详解】7.在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案.【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以；因为角的终边过点，所以，所以.故选：C8.已知是关于的方程的一个虚根，则（）A. B.2 C. D.1【正确答案】C【分析】根据实系数一元二次方程虚数根共轭和韦达定理可求的值.【详解】因为是关于的方程的一个虚根，所以是关于的方程的另一个虚根，所以，解得.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则与的长度相等且方向相同或相反B.向量的长度与向量的长度相等C.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同D.若与同向，且，则【正确答案】BC【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是().A.若，则B.若，则为锐角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为【正确答案】AD【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，由余弦定理，可知为锐角，但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；对于C，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.故选：AD.11.已知复数，，则（）A.的虚部为B.C.为纯虚数D.在复平面内，复数所对应的点位于第四象限【正确答案】BCD【分析】利用复数的运算，共轭复数和模的概念，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】因为，，对于A，易知，其虚部为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，为纯虚数，故C正确；对于D，，对应的点位于第四象限，故D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数的模等于2，则实数的值为______.【正确答案】【详解】复数的模等于2，故，故，解得.13.若，则________．【正确答案】【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解.【详解】.故14.已知向量，满足，，则_____．【正确答案】【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可.【详解】结合题意：，所以因为，所以所以．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设复数．（1）若，求、的值．（2）若与复数是互为共轭复数，求.【正确答案】（1），（2）5【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的概念可求、的值.（2）根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算法则求值.【小问1详解】因为，故，.【小问2详解】因为与复数是互为共轭复数，则，故.16.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）分别求与的值；（2）若，求的值.【正确答案】（1）1，（2）【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可.（2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值.【小问1详解】..【小问2详解】因为，所以，解得.17.已知函数．（1）求函数的周期和其图像的对称轴方程；（2）当时，求的值域．【正确答案】（1）最小正周期为，对称轴为（2）【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程.(2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域.【小问1详解】，所以；令，解得．【小问2详解】因为，所以从而可知，因此，故所求值域为．18.在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，求（i）的值；（ii）的值.【正确答案】（1）（2）（i）；（ii）.【分析】（1）利用余弦定理可求出的值；（2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值；（ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.【小问1详解】因为，可得，即，由余弦定理可得.【小问2详解】（i）因为，故为锐角，所以，因为，由正弦定理可得，故；（ii）因为，则，即，故为锐角，所以，所以，，因此，.19.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；（3）根据