甘肃武威市天祝藏族自治县九师联盟2025-2026学年高三下学期4月期中数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度数据：0.9992，0.9988，0.9990，0.9987，0.9994，0.9990，则这组数据的75%分位数为（）A.0.9988 B.0.9991 C.0.9992 D.0.99944.某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（）A.1152 B.1386 C.1560 D.18425.已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（）A. B. C. D.6.已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（）A.18 B.9 C.6 D.37.已知函数，则（）A. B.C.， D.8.如图，已知在正四棱台中，，，为的中点，，分别为直线，上的点，若，，三点共线，则线段的长为（）A.12 B.9 C. D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（）A. B.的方程为C.原点到直线的距离为 D.10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为棱，的中点，为侧面（含边界）上一动点（点除外），，则下列结论正确的是（）A.若，则平面B.平面平面C.三棱锥的外接球的表面积为D.若直线与所成的角为，则点的轨迹长度为11.用表示不超过的最大整数，则（）A.B.是的充分不必要条件C.函数的值域为D.方程的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中，若点，，共线，则________.13.已知，则的展开式中，的系数为________.（用数字作答）14.已知数列满足，，记的前项和为，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，且，，成等差数列，求的值.16.如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数的图象在处的切线过点.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.18.某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为；使用第二代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立.（1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率；（2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行3次基因编辑，若3次中成功2次，则停止实验（如第1，2次成功，则第3次不再基因编辑）；否则再使用第二代技术进行2次编辑，随后停止实验，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望；（3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术.已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元.若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次?19.已知椭圆：仅经过点，，，，，中的两个.（1）求的方程；（2）若直线与交于点，，点为点关于轴的对称点，证明：直线过定点；（3）若直线与交于点，，线段的中点为，为原点，当的面积最大时，是否存在两定点，，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，所以，又，所以.3.某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度数据：0.9992，0.9988，0.9990，0.9987，0.9994，0.9990，则这组数据的75%分位数为（）A.0.9988 B.0.9991 C.0.9992 D.0.9994答案：C解析：思路：先把数据从小到大排列，再应用百分位数定义计算求解.解答过程：把这组数据从小到大排列为：0.9987，0.9988，0.9990，0.9990，0.9992，0.9994，又，所以这组数据的75%分位数为重新排列后的第5个数0.9992.4.某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（）A.1152 B.1386 C.1560 D.1842答案：A解析：解答过程：由，得，两边取自然对数得，所以.5.已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意知的一条渐近线的斜率为，所以，所以的离心率.6.已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（）A.18 B.9 C.6 D.3答案：B解析：思路：根据正弦函数最值结合正弦函数性质计算周期即可求解参数最小值.解答过程：由题意得，分别为的最小值（最大值）与最大值（最小值），当在上恰好有3个零点时，的最小正周期最大，最小，此时，，.7.已知函数，则（）A. B.C.， D.答案：B解析：解答过程：由，得，令得，所以，即，所以求导得，显然，所以在上单调递增，即，故A错误；由为奇函数，且，所以，故B正确；由，可得，显然对，不恒成立，故C错误，再由，，显然，故D错误.8.如图，已知在正四棱台中，，，为的中点，，分别为直线，上的点，若，，三点共线，则线段的长为（）A.12 B.9 C. D.8答案：D解析：思路：法1：取的中点，结合面面平行性质定理得出，得出边长结合余弦定理计算求解；法2：建立空间直角坐标系，应用，，三点共线，得出，再应用向量的减法计算得出坐标进而得出模长即可.解答过程：法1：取的中点，连接，，，延长与的延长线交于点，连接并延长交直线于，得，，，所以，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，又，所以，所以，所以，在中，由余弦定理，得，所以.法2：连接，，，，记，，连接，得，，，得，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，，则，，，，，则，，，，设，，所以，.因为，，三点共线，所以，所以存在，使得，即，解得，所以，，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（）A. B.的方程为C.原点到直线的距离为 D.答案：AC解析：思路：根据抛物线的标准方程特点与几何性质求解.解答过程：将的坐标代入的方程，得，，所以的方程为，，：，由抛物线的定义，得，故A正确，BD错误；直线的方程为，故原点到直线的距离为，故C正确.10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为棱，的中点，为侧面（含边界）上一动点（点除外），，则下列结论正确的是（）A.若，则平面B.平面平面C.三棱锥的外接球的表面积为D.若直线与所成的角为，则点的轨迹长度为答案：ABD解析：解答过程：对选项A，连接交于点，连接，则，由题意知，所以，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为平面，平面，所以，因为，分别为正方形的边和的中点，易证，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；分别取，的中点，，过，分别作平面和平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心，连接，易求，，所以OC=12+5故其表面积为，故C错误；由题意知为直线与所成的角，所以，连接，则，则，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内的部分，所以其长度为，故D正确.11.用表示不超过的最大整数，则（）A.B.是的充分不必要条件C.函数的值域为D.方程的解集为答案：BCD解析：思路：对A，通过代入具体数值，验证取整函数与的关系；对B，利用取整函数定义，先证明由可，再举反例说明必要性不成立，判断充分不必要条件；对C：先判断为偶函数，再分析的单调性与值域，分情况讨论与的取值，确定的值域；对D，利用先求出的大致范围，再结合为整数的条件，枚举并检验所有可能的值，得到方程解集.解答过程：对于A，当时，，A错误；对于B，若，设，则，，所以，所以，充分性成立；若，取，，则，，，必要性不成立，B正确；对于C，由题意知是定义域为的偶函数，由偶函数的性质得的值域与在上的值域一致，，设，则，且，在上单调递增，当时，，则，所以，，故，所以的值域为，C正确；对于D，由，得，即，所以，因为及为整数，所以为整数，所以的可能取值为，0，，，，1，经检验，原方程的解集为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中，若点，，共线，则________.答案：0解析：解答过程：因为点，，共线，所以，共线，又，，所以，所以.13.已知，则的展开式中，的系数为________.（用数字作答）答案：80解析：思路：解组合方程可得，再根据二项展开式的通项公式求解即可.解答过程：由，得，所以的展开式的通项为：，令，得，，所以的系数为80.14.已知数列满足，，记的前项和为，则________.答案：1520解析：解答过程：由，得，所以，所以的值均为1，又，所以，所以，当为偶数时，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，且，，成等差数列，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）法1：由正弦定理结合两角和正弦公式计算化简得出，最后结合角的范围计算求解；法2：应用余弦定理化简结合角的范围计算求解；（2）应用余弦定理结合等差中项计算求解参数.（1）法1：由及正弦定理，得，所以，又，所以，所以.因为，所以.法2：由及余弦定理，得，整理，得，所以，因为，所以.（2）由及余弦定理，得，所以，即，因为，，成等差数列，所以，所以，.16.如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质可得，进而可得，利用线面垂直的判定定理可证结论；（2）由题意可证，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.（1）因为平面，平面，所以，因为侧面是菱形，，所以是等边三角形，又点为的中点，所以，又因为，平面，，所以平面.（2）取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以，所以，由（1）知，平面，平面，所以，所以，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，即令，解得，，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数的图象在处的切线过点.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用导数的几何意义，结合题意可得，求解即可；（2）令，结合导数的意义，以及对分类讨论可求得实数的取值范围.（1）因为，所以，所以，又，且曲线在处的切线过点，所以，解得.（2）由（1）知，令，则，设，则，因为，所以，故在上单调递增，所以，若，则，，所以在上单调递减，所以，满足题意.若，则，，所以存在，使得，又在上单调递增，所以当时，，此时，所以在上单调递增，所以当时，，不满足题意.若，则，，则当时，，此时，所以在上单调递增，所以当时，，不满足题意.若，则，又，所以存在，使得，所以当时，，此时，所以当时，，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.18.某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为；使用第二代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立.（1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率；（2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行3次基因编辑，若3次中成功2次，则停止实验（如第1，2次成功，则第3次不再基因编辑）；否则再使用第二代技术进行2次编辑，随后停止实验，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望；（3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术.已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元.若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次?答案：（1）（2）分布列见解析，（3）2解析：思路：（1）利用对立事件的概率公式计算即可求解；（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，利用独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率加法公式可求得分布列，进而利用离散型随机变量的期望公式求解即可；（3）若第一代技术使用2次，记编辑成功的次数为，求得分布列与期望，进而求得第一代技术使用1次，第一代技术使用0次的分布列与期望，进而比较可得结论.（1）使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为.（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以分布列为0123.（3）若第一代技术使用2次，记编辑成功的次数为，则的分布列为012净收益的期望值为（