广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷卷（含答案）

/2025-2026学年第二学期期中考试盐田高级中学高二数学试题卷一､单选题：1.若，，，，则（）A.p，q均为真命题 B.，均为假命题C.，均为真命题 D.p，q均为假命题【正确答案】C【详解】若，则命题不成立，则为假命题，故为真命题；若，则，则命题为真命题.2.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】应用方差性质计算求解.【详解】因为样本数据，，，的方差为，所以由方差的性质可知，数据，，，的方差为．3.已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表．123451015192328根据上表可得线性回归方程为，则（）A.4 B.4.4 C.4.5 D.5【正确答案】B【分析】由所给数据求出，根据回归直线过中心点可求解．【详解】由表格得，，将样本中心代入线性回归方程得，．4.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（）种．A.7 B.10 C.14 D.16【正确答案】C【分析】由分类加法和分布乘法计数原理即可求解．【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女，所以共种，故选：C．5.设等比数列的前n项和为，若，，则（

）A.24 B.32 C.36 D.108【正确答案】B【详解】设等比数列的公比为.若，，则，故，，所以，故.6.一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可.【详解】依题意，的可能值有.则，，.则的分布列为：可得.故选：D7.下列说法中不正确的是（）A.一组数据的下四分位数为B.在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系C.根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差【正确答案】D【详解】对于A，，下四分位数为，A正确；对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确；对于C，残差，C正确；对于D，分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关，还与各层的样本量和层间均值差异有关，即使，总体方差也不等于，还需要考虑各层的样本量权重，D不正确．8.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解.【详解】由题当时，，所以，所以当时，，当时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减，当时，当时，；当时，；所以可作出函数的图象，如下图，若要使函数有个不同的零点，所以的图象与直线有个交点，即，解得.二､多选题9.下列说法正确的是（）A.若随机变量，则B.设随机变量服从正态分布，若，则C.对于随机事件与，若，则事件与相互独立D.一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则【正确答案】BC【分析】根据二项分布的方差判断A选项；根据正态分布的对称性判断B选项，根据条件概率与事件的独立性判断C选项，根据超几何分布的概率公式判断D选项.【详解】对于A选项，由，可得，故A选项错误；对于B选项，由，故B选项正确；对于C选项，由，有，可得事件与相互独立，故C选项正确；对于D选项，由，解得或6，故D选项错误．故选：BC10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（）A.双曲线的渐近线方程为 B.C.的面积为 D.【正确答案】BC【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项.【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即.又，所以，所以双曲线的方程为.对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，，解得或（舍去负值），所以，代入可得，.设，又，所以，故B项正确；对于C项，易知，故C项正确；对于D项，因为，所以，由余弦定理可得，，故D项错误.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（）A.异面直线与所成的角是 B.与平面所成的线面角的正切值为C.点P的运动轨迹长度为 D.点P到平面ABCD距离的取值范围是【正确答案】BCD【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D.【详解】对于A，在正方体中易知且，所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误；连接，易知，又平面，所以平面，而平面，所以，同理可知，即平面，设垂足为E，取的中点，连接，则，所以，连接，由勾股定理可知，对于B，易知与平面所成的角为，故B正确；对于C，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心，则三点共线，，所以点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆，所以点P的运动轨迹长度为，故C正确；对于D，假设P的轨迹圆与交于G点，由上可知，而到底面的距离为2，所以到底面的距离为，由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确.三､填空题12.若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________.【正确答案】【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】二项式系数之和为，所以，因为的展开式的通项公式为：，当时，所以，则展开式中的系数为.故40.13.直线与圆O：交于A、B两点，若，则______．【正确答案】1或【详解】由，得，所以圆心，半径，则圆心到直线的距离，又，，解得.14.已知数列的通项公式是，设，则______．【正确答案】【分析】先求导函数，再计算，利用裂项相消化简.【详解】，则，又，所以，则.故四､解答题15.随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表：能够熟练使用AI工具不能够熟练使用AI工具男员工3015女员工169（1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？（2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正确答案】（1）性别与使用AI工具的熟练度无关；（2）0123数学期望为1.【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解.（2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【小问1详解】设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关，由统计表得，则，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关.【小问2详解】男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为，按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4，因此的可能取值为，，，所以的分布列为：0123数学期望.16.已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式；（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.【小问1详解】由，当时，，则，即，所以，即，由数列为正项数列，所以，从而有，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，．【小问2详解】由（1）知，所以，，则，从而，即，所以.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值；【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点，连接，先利用平行四边形性质证，再利用线面平行判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求两平面夹角的正弦值.【小问1详解】取中点，连接因为为中点，所以，且，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】因为平面，且，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以AB=因为平面平面，所以平面平面，又因为平面平面平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则PD⋅n=2不妨取，则，所以cosAD所以平面与平面夹角的正弦值为.18.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．（3）对任意，恒成立，求的取值范围．【正确答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；（2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.（3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可.【小问1详解】因为，，则，当时，，所以在上单调递增；当时，由，得，若，则；若，则．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【小问2详解】当时，由可得，令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点.，当时，，此时函数单调递增.当时，，此时函数单调递减．所以函数的极大值为，且，，在的图象如图所示．由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是．【小问3详解】由，得恒成立，移项，得恒成立.构造函数，所以恒成立.又∵在定义域内单调递增，∴有在内恒成立，∴恒成立，即.由（2）可知最大值为，所以.19.已知椭圆的左顶点，上顶点.（1）求椭圆的方程.（2）过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上.（ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值；（ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和.【正确答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【分析】（1）由左顶点，上顶点，直接得的值，从而得到椭圆的方程；（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立椭圆与直线的方程，并表示出方程，得坐标，利用韦达定理可