河南商丘市华大新高考联盟2026届高三下学期4月联考模拟预测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（）A.2 B.3 C.4 D.52.的虚部为（）A. B. C. D.3.已知全集，集合，则的真子集个数为（）A.3 B.7 C.15 D.314.已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（）A.3 B.5 C.7 D.95.若双曲线：的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.已知实数，满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（）A. B. C. D.8.已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为60°，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝域的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（）A.平面 B.平面C.二面角的余弦值为 D.直线与所成的角为10.已知函数，若的解集为或，则（）A.B.在上单调递增C.的图象的对称中心的纵坐标为D.不等式的解为11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则（）A.B.以为直径的圆与以为直径的圆内切C.若点，能够关于直线对称，则D.若，则的面积的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______.13.已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______.14.若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.（1）求，的值；（2）以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求的值以及的面积；（2）已知点在线段上，若，且，求的值.17.如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面.（1）求的值；（2）若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，.（1）求抛物线的方程；（2）若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求；（3）已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由.19.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点逆时针方向旋转角得到点.（1）将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围.（2）已知曲线.（ⅰ）求证：曲线关于直线对称.（ⅱ）已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：解答过程：当时，，当时，，所以取最小值时，.2.的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，故所求虚部为．3.已知全集，集合，则的真子集个数为（）A.3 B.7 C.15 D.31答案：B解析：解答过程：依题意，，故，则的真子集个数为．4.已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（）A.3 B.5 C.7 D.9答案：D解析：思路：根据上四分位数的定义求出的范围，结合选项，即可得答案.解答过程：依题意，，故为该组数据按照从小到大排列后的第6个数，则.5.若双曲线：的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：依题意，，则，即，即，解得，故所求渐近线方程为．6.已知实数，满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：由题意可得，即且，因为，等价于，等价于，化简得，因为，等价于，化简得，因为，所以，由得.取，，则，但不成立.故“”是“”的必要不充分条件.7.已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量的垂直可得且，进而可得所求三角函数值.解答过程：因为，且，，所以，即，由辅助角公式得，其中.因为，的终边不关于轴对称，故，的终边不重合，则，其中，即，所以.8.已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为60°，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝域的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过圆锥和小球的体积求出底面半径与球半径，再利用圆锥截面的几何关系，将小球在圆锥内滚动接触的区域转化为圆台侧面，考查立体几何中体积公式、截面分析和圆台侧面积计算的综合应用．解答过程：设圆锥的底面半径为，则，解得，设小球的半径为，则，解得，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图1所示，如图2，由于小球的半径，，则，又，都是等边三角形，所以，，则圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，母线长，其侧面积．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（）A.平面 B.平面C.二面角的余弦值为 D.直线与所成的角为答案：ABD解析：思路：根据线面平行的判定定理可判断A的正误，根据空间垂直关系的转化可判断B的证明，构造面面角或线面角结合余弦定理可判断CD的正误.解答过程：连接，因为，平面，平面，所以平面，故A正确．由正方形可得，而平面，故平面，因平面，故，因为，平面，所以平面，故B正确．连接，同理可证平面，而平面，故，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，故，故，而，，则，故C错误．取的中点，取的中点，连接，，，则，则直线，所成的角为或其补角，同理可证平面，而平面，故，故，因为所在边的中点，故，故平面，而平面，故，故，又，故，故，则直线与所成的角为60°，故D正确．10.已知函数，若的解集为或，则（）A.B.在上单调递增C.的图象的对称中心的纵坐标为D.不等式的解为答案：ABD解析：思路：先由的解集可得是函数的极值点也是函数的零点，进而可得值及函数解析式，再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得.解答过程：因为的解集为或，所以为的极值点也是的零点，如图:由题意得，则，解得，故A正确.又因为为的零点,所以，解得，故，则，当时，，故在上单调递增，故B正确.假设的图象的对称中心为，则对，，则，即，所以,解得，而，所以的图象的对称中心的纵坐标为，故C错误.又因为，得，，所以，得，故D正确.11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则（）A.B.以为直径的圆与以为直径的圆内切C.若点，能够关于直线对称，则D.若，则的面积的取值范围为答案：ABD解析：思路：选项A：通过设点，计算向量点积并结合椭圆方程化简，利用的范围得到点积的取值区间，验证其正确性；选项B：利用椭圆定义和三角形中位线定理，证明以为直径的圆与以为直径的圆的圆心距等于半径差，从而得出两圆内切；选项C：通过点差法得到中点与直线的关系，结合中点在椭圆内部的条件，求出的正确范围，判断选项错误；选项D：设直线方程，利用的条件得到方程，计算三角形面积并求其最值，验证取值范围正确．解答过程：设，则：，，点积：，由椭圆方程，代入得：，，则，故：，故A正确；设的中点为，，因为是的中点，所以，又以为直径的圆的圆心为，半径，以为直径的圆的圆心为，半径，所以，所以两圆内切，故B正确；设，，则的中点，与对称轴垂直，故，依题意，两式相减可得：，代入：，联立，解得，故，解得，故C错误；当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由得，所以，所以，所以.因为，将用代换可得，故，当且仅当，即时取等号，因为，所以，所以，当直线的斜率不存在或为0时，，所以面积的取值范围为，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______.答案：解析：解答过程：若有2个小球的编号与盒子的编号一致，则有种；若有3个小球的编号与盒子的编号一致，则有种；若有4个小球的编号与盒子的编号一致，此时没有可行的方案，为0种.若有5个小球的编号与盒子的编号一致，则有1种.故所求概率.13.已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______.答案：76解析：解答过程：因为公比为的等比数列，可得，因此，则，，故，则，易知在上单调递增，且，故，则，，则．14.若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______.答案：解析：解答过程：依题意，，，令，则，令，解得，而，故，验证为函数的对称中心：因为，所以函数的对称中心的坐标为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.（1）求，的值；（2）以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据频率分布直方图的概念，列出方程组，求出结果即可；（2）根据二项分布的性质，求出随机变量的分布列，进而求出期望.（1）依题意可知组距为，则，解得.（2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即；则，，，，.分布列如下表所示.01234故.16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求的值以及的面积；（2）已知点在线段上，若，且，求的值.答案：（1）4，2（2）解析：思路：（1）由正弦定理及三角恒等变换可得，从而求得，，再由余弦定理求边的值，利用面积公式求解即可；（2）由两角和差公式可得，在和中，由正弦定理得，由向量的线性运算可得，即可得答案.（1）由正弦定理得，，故.因为，，所以，则，故，，所以，.（2）如图，，故.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，又因为，所以，故，所以.所以,所以,因为，所以,所以.17.如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面.（1）求的值；（2）若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据线面平行的性质定理，以及平行四边形的性质，求出，再根据余弦定理，求出，进而求出结果；（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线方向向量和平面的法向量，根据线面角的向量方法求出结果即可；（1）如图，连接，因为，所以，，，四点共面.因为平面，平面平面，平面，故，故四边形是平行四边形，所以.易知，因为，所以，所以.（2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，得，故.，，设为平面的法向量，则，即，令，则，故平面的一个法向量为，故直线与平面所成角的正弦值.18.已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，.（1）求抛物线的方程；（2）若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求；（3）已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由.答案：（1）（2）（3）直线是的外角平分线，理由见解析解析：思路：（1）写出直线的方程，与抛物线联立，用焦点弦公式求出，得到抛物线方程；（2）设直线，联立直线与抛物线方程得韦达定理结果，由对称求，结合在抛物线上求出，用弦长公式和点到直线距离求出面积；（3）求出直线的方程为，分别求出点到直线和的距离，利用角平分线逆定理证明.（1）当直线的倾斜角为且，，三点共线时，直线：，联立则.设，，故，则，故抛物线的方程为.（2）设直线，联立，得，则，，.设，则解得，，则，解得，则，则.（3）直线的斜率为，直线的方程为，代入并整理得，令得，，则.焦点的坐标为，直线的方程为，整理得，则点到直线的距离，同理，点到直线的距离，由及直线与抛物线的位置关系，可得直线是的外角平分线.19.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点逆时针方向旋转角得到点.（1）将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围.（2）已知曲线.（ⅰ）求