江苏东台市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 含答案

/东台市第一中学2025级高一年级下学期月考一数学试卷考试时长：120分钟一､单选题1.已知复数满足，则（）A.5 B.3 C. D.【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算求得，进而可得模长.【详解】由题意得，所以．2.已知向量，若，则（）A.2 B. C.1 D.【正确答案】A【分析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】若，则，即，向量，则，解得.故选：A3.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由二倍角的余弦公式可得．故选：A．4.已知，且为第四象限角，则（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】利用两角差的正弦公式求得，根据同角的三角函数关系求得，即可求得答案.【详解】由可得，即，因为为第四象限角，故，所以，故选：A5.已知向量与的夹角为，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解.【详解】因为向量与的夹角为，且，可得，则，所以.故选：B.6.在中，若，，其面积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意知，，所以.由余弦定理知，，所以.由正弦定理得，，则，，.所以.7.已知角，，，，则角（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】通过，的范围求出，进一步求出，再求出，结合角的范围求出角的大小即可.【详解】∵，由，则，∴，，又，即，解得，∴，∴，又，∴.故选：D.本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题.8.已知，则等于（）A.－ B.± C.－1 D.1【正确答案】D【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】，故选：D二､多选题9.下列式子结果为的是（）①；②；③；④．A.① B.② C.③ D.④【正确答案】ABC【分析】利用即可得①正确；，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误.【详解】对于①，由于，所以；对于②，由于，所以；对于③，因为，；对于④，因为，；故选：ABC10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则是等腰直角三角形【正确答案】AD【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；对于D，由正弦定理，结合条件，得，，，，，，又，，所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.11.设是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（）A.若，则和的夹角为B.若，则和的夹角为C.若，则和方向相同D.若，则和的夹角为锐角【正确答案】ABC【分析】利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定D.【详解】，，，构成等边三角形，A正确；，以向量，为邻边的平行四边形中，由，和对角线构成的三角形是等边三角形，由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确；因为，所以，又，故，所以，则与同向，C正确；若，则和的夹角为锐角或者，D错误.三､填空题12.在中，角的对边分别是，若，则__________．【正确答案】2【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解.【详解】因为，由正弦定理，可得，所以，又因为，所以，所以，又由正弦定理，可得，即，因为，所以．13.已知，，则________．【正确答案】【详解】，，即，，，，．14.平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．【正确答案】【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案.【详解】由向量的线性运算法则，可得，因为点是边的一个四等分点（靠近点）,可得，所以，在平行四边形中，，且，所以.四､解答题15.（1）已知，求的值；（2）化简：cos10【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到的值，再平方求；（2）先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果.【详解】（1）由二倍角公式：，由余弦差角公式.由于原式分母不为0，故，则，化简得，两边平方得，解得.（2）将代入得，则分子，由降幂公式可知分母，从而原式.16.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模.（2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可.【小问1详解】已知，，则，又，所以，即，解得.所以，则，所以.【小问2详解】因为，所以，解得，所以，则.则，，，设与夹角为，则.所以与夹角的余弦值为.17.如图，在中，，为延长线上的一点，，．（1）若，求的长；（2）若，求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长；（2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解.【小问1详解】在中，根据正弦定理可得，即，由为钝角，得为锐角，所以，所以，所以．【小问2详解】因为，在中，由余弦定理得，，解得，则，则，在中，，所以的面积为18.已知，且．（1）求角的大小．（2），求函数的值域.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）结合平方关系可求得和，然后利用正弦的二倍角公式即可求出角的大小.（2）利用三角恒等变换，辅助角公式得到，即可得出结果.【小问1详解】因为，且，，解得，.又，所以或，或（舍）.所以.【小问2详解】，因为，所以.19.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由余弦定理计算即可求解；（2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解；（3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形