江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题 含答案

/2025～2026学年第二学期期中考试高二数学试题用时：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若随机变量，则（）A.3 B.6 C.1 D.12【正确答案】B【分析】使用二项分布的期望公式，期望的性质求解．【详解】，.2.若，则（）A.6 B.10 C.12 D.15【正确答案】B【详解】由题可知.3.在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】使用古典概型概率公式和条件概率公式求解.【详解】记第一次取到不合格品为事件，第二次取到合格品为事件，则，P(AB)=5×5所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为：594.某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需要较高的生产工艺，使得不超过（）（备注：若，则）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】因为产品的质量指标服从正态分布，，又质量指标介于至之间的产品为良品，良品率达到，所以，解得，所以不超过.5.某摄影兴趣小组有8名男生､4名女生，从12名成员中选2名男生，1名女生分别担任队长､副队长､摄影师，则不同的安排方法种数为（）A.224 B.326 C.448 D.672【正确答案】D【详解】解：根据题意得不同的安排方法种数为．6.设是一个试验中的两个事件，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】借助互斥事件概率公式及条件概率公式计算即可得.【详解】事件与事件互斥，故，又PAB=PA解得，则.7.已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】向量在平面上的投影向量是减去在法向量上的投影向量.【详解】向量在法向量上的投影数量为：，向量在法向量上的投影向量是：，则向量在平面上的投影向量是减去在法向量上的投影向量，即.8.某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片.若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先定义骰子掷出点的事件和抽卡片全为红色的事件，由骰子等可能得PAi=16，再给出条件概率的组合表达式，利用全概率公式算出，最后依据贝叶斯公式，用与的联合概率除以，求出已知全抽红卡时掷出3点的条件概率.【详解】记事件：骰子掷出的点数为i,i=1,2,3,4,5,6，事件则PA所以，所以已知取出的全是红色卡片，则掷出点的概率为:.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，则下列说法正确的是（）A.二项式系数最大为15 B.各项系数的和为64C.常数项为20 D.有理项有4项【正确答案】BD【详解】二项展开通项Tr+1=A.二项式系数最大为，故A错误.B.令，各项系数和为，故B正确.C.令，得，常数项，故C错误.D.令为整数，得，共项有理项，故D正确.10.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.B.面C.到面的距离为定值D.面积的最小值为【正确答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系使用向量法判断选项，使用向量法计算点到线，点到面的距离判断选项.【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，，因为，所以，即，选项正确；设平面的法向量为，，，则，令，解得，所以，因为，平面，所以面，选项正确；而，到面的距离为，选项错误；而，，点到直线的距离为：，当时，取最小值为，此时面积的最小，，所以面积的最小值为，选项正确.11.若数轴的原点处有一个质点，每次向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，设移动次后该质点坐标为随机变量.则下列结论正确的是（）A.B.C.D.移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置【正确答案】ACD【分析】设移动次中，向左移动次，向右移动次，则，，对A，选项条件得，即可求解；对B，根据选项条件得，再求出概率，即可求解；对C，利用二项分布的期望公式，即可求解；对D，根据条件，求出移动次，向左移动几次的概率最大，即可求解.【详解】设移动次中，向左移动次，向右移动次，则，，对于A，由，知，所以，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，所以C正确，对于D，因为，所以，则，由，得到，又，所以P(0)<P1<P2则移动次，向左移动次的概率最大，所以移动次后，质点最有可能位于坐标为的位置，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，为实数，已知，且，则______.【正确答案】【详解】已知，，且，所以实数，使得.代入坐标可得：，即，解得.故，，因此.13.已知随机变量服从分布，则，则______.【正确答案】【分析】使用分布的方差公式求解.【详解】.14.将名工作人员分配到三个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，其中工作人员甲只能去岗位，则不同的安排方法的种数为______.【正确答案】【详解】每人只去一个岗位，将除甲外名工作人员分到三个不同的工作岗位，有种分法，每人只去一个岗位，将除甲外名工作人员分到两个不同的工作岗位，有种分法，每人只去一个岗位，将除甲外名工作人员分到两个不同的工作岗位，有种分法，将除甲外名工作人员全分到工作岗位，有种分法，又工作人员甲只能去岗位，则工作人员甲只有种分法，所以每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，且工作人员甲只能去岗位，有种不同的安排方法.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在二项式的展开式中，含的项的系数为-160.（1）求实数的值；（2）记，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）使用二项式定理分析含的项的系数求解；（2）原式求导后使用赋值法求解.【小问1详解】含的项的系数为：，所以.【小问2详解】由（1）可知则(2x，令，得，即，即.16.如图，在正四棱锥中，，点在侧棱上，且.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接交于，连接，利用正四棱锥的性质，得平面，再由线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，即可求解；（2）过作，交于，过作，交于，连接，利用线面垂直的性质及判定得为二面角的平面角，再利用几何关系求出，，即可求解.【小问1详解】连接交于，连接，因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】过作，交于，过作，交于，连接，因为平面，则平面，又平面，所以，又，所以，又平面,所以平面，又平面，则，所以为二面角的平面角，又，则，，又，所以，，则,在中，，，,所以.17.一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球.（1）若有放回的依次抽取，求恰有2次抽取到白球的概率；（2）若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望.【正确答案】（1）（2）的分布列为：012期望为：【分析】（1）使用二项分布概率公式求解；（2）使用超几何分布的概率公式求解.【小问1详解】恰有2次抽取到白球的概率为：【小问2详解】可能的取值为：0，1，2P(P(P(的分布列为：012期望为：EX18.某校田径队有编号为的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长.（1）求1号队员在三天内至少担任一次队长的概率；（2）记天中选取的队员对应的最大编号为.（i）时，求；（ii）求使得成立的最小的的值.【正确答案】（1）（2）（i）（ii）最小的为3【分析】（1）利用对立事件求解，先算出三天均不选中1号的概率，再用减去该概率，即可得到1号三天内至少担任一次队长的概率.（2）（i）代表所有选取编号不超过且不含全部为的情况，借助最大值的区间概率作差，代入对应式子计算即可.（ii）先写出的分布列并化简期望表达式，结合已知不等式得到求和范围，依次代入逐一验算，对比大小后确定满足条件的最小正整数.【小问1详解】设每天选到号队员的事件为，，.设事件为“三天都不选1号”，则.所以1号队员在三天内至少担任一次队长的概率。【小问2详解】（i）等价于三天选取的编号均不大于2，且至少有一次为2..（ii），，.期望，即.由，得.时，左边；时，左边；时，左边.故最小的为3.19.如图，在三棱柱中，,，，，为中点，平面.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求三棱锥的体积；（3）若质点的初始位置位于点处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点移动次后仍在底面上的概率为，求.【正确答案】（1）（2）48（3）【分析】（1）建立空间直角坐标系，使用向量法求解；（2）使用三棱锥的体积公式求解；（3）使用全概率公式写出的递推关系式，构造等比数列求解.【小问1详解】以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，因为平面，且，在直角三角形中，，所以，即，又，所以，则B1D⃗=(0,0,−