江西省宜春市奉新县第四中学2025-2026学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题 含答案

/江西奉新县第四中学2025-2026学年高二年级下学期第一次教学质量检测数学试卷一、单选题1．数列1，，4，，的一个通项公式（

）A． B． C． D．2．已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．3．已知数列，则（

）A． B． C． D．4．在数列中，若，则（

）A．2 B． C． D．15．已知数列的前项的乘积为，其中为常数，，若，则(

)A．4 B．3 C．2 D．16．如图所示，5颗串珠用一根细线串起，现将它们依次取出（只允许从两边取出），一次取一颗，两颗☆☆串珠被连续取出的概率是（

）A． B． C． D．7．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（

）项．A．6 B．7 C．8 D．98．今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高，第个月产品合格率为，前个月合格率每月增加，之后合格率保持不变．则的值为（

）（且，参考数据：，）A． B． C． D．二、多选题9．数列的前项和，则（

）A．B．C．当或6时，数列有最小项D．是等差数列10．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．直线与所成的角是B．当时，点到平面的距离为C．三棱锥的体积不变D．若，则二面角的平面角的正弦值为11．已知数列满足，则下列说法中，正确的是（

）A．；B．是等差数列；C．是等比数列；D．数列前项和为.三、填空题12．2和9的等比中项是____________.13．已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则__________．14．已知数列满足，数列满足，在任意的之间插入数列的项（，从到），从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______（请用数字作答）.四、解答题15．等差数列中，已知(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式．16．如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．已知和为椭圆上两点．(1)求C的标准方程；(2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程；18．已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若数列满足，求数列的前项和．19．为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．(1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望；(2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为．①求；②求．答案1．C【详解】数列1，，4，，中，，，，，，……，故选.2．B【详解】设点，将其代入抛物线方程可得，解得，易知抛物线的准线方程为，故点到焦点的距离为.3．D【详解】由题得，所以.4．A【详解】数列中，已知，，则，，，，所以数列的周期为3，故．故选：A5．A【详解】由于数列的前项的乘积为，因此，即，解得.故选：A6．D【详解】依题意，前4次取珠，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种情况，因此不同取法种数为，第1，2次取“☆☆”，再取另3颗珠有4种方法；第2，3次取“☆☆”，则第1次取右起第一颗，共有2种方法；第3，4次取“☆☆”，则第1，2次取右起两颗，有1种取法；第4，5次取“☆☆”，则第1，2，3次取右起三颗，有2种取法，因此两颗☆☆串珠被连续取出的方法种数是，所以所求概率为.故选：D7．A【详解】设数列的最大项为.则，即，化简得，解得，所以，又，所以，即数列的最大项是第项.故选：A.8．B【详解】设第个月的产量和合格率分别构成数列、，不妨设，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，的前项构成以为首项，公差为的等差数列，故当时，，由题意可知当时，，则该公司第个月的销量为，当时，，当时，，，则，故数列为递增数列，且，因为，，当时，，此时数列单调递增，此时，不合乎题意，故.故选：B.9．ABD【详解】对于A：因为，当时，故A正确；对于B：当时，所以，经检验时也成立，所以，故B正确；对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误；对于D：因为，则，又，所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确.故选：ABD10．BC【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．A（×），，设，依据共线向量设坐标故，．若直线与所成的角是，则，整理得，即，解得，注意范围的限制故直线与所成的角不可能是．B（√）当时，结合A中分析可得，故，故，而，设平面的法向量为，则即取，得为平面的一个法向量，又，故到平面的距离为．C（√）因为，平面，平面，所以平面，所以为定值．D（×）当时，结合B的分析可得，此时，故，而，设此时平面的法向量为，则即取，得为平面的一个法向量，又，，设平面的法向量为，则即取，得为平面的一个法向量，故，故二面角的平面角的正弦值为．故选：BC11．ACD【详解】对于A，由，且，则，，，，，，故A正确；对于B，由，即，则数列为等比数列，故B错误；对于C，由，则数列为等比数列，故C正确；对于D，由，则等比数列的首项为，公比为；由，则等比数列的首项为，公比为.，故D正确.故选：ACD.12．【详解】令等比中项为，则.13．4【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为c，因为圆与E在第一象限的交点为A，所以，由双曲线的定义得，由，得，即，解得，(舍去)．故答案为.14．2350【详解】根据题意，，时，新数列中前共有数列的前项，所以为新数列的第项，即第项，当时，，即为新数列的第43项，且与之间插入了，，，……，共13项，则.15．(1)；(2)【详解】（1）由题知，令等差数列的公差为，由，解得，所以数列的通项公式，前项和.（2）令等比数列的公比为，则，解得，因为，所以，所以数列的通项公式.16．(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，所以为中点，因为侧面是正三角形，所以，因为底面是正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以（2）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，则，因为，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，故可取，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为17．(1)(2)直线l的方程为【详解】（1）将和代入椭圆方程可得，解，所以C的标准方程为.（2）由题意，则AP的垂直平分线的斜率，由的中点坐标为，即为，所以AP的垂直平分线方程为，即，令，可得，即的外接圆圆心为，所以的外接圆的半径，设点B坐标为，由题意得，所以，解得或4，当时，代入可得或6（舍，与P点重合），则，当时，代入可得或2（舍，与A点重合），则，当时，的面积，不符合题意，故舍去；当时，的面积，符合题意，所以，所以直线l的方程为，即.18．(1)证明见解析，；(2)(3)【详解】（1）因为，，所以，即，所以数列为等差数列，故，所以；（2）由（1）可得，由，可得，所以当时，，当时，，综上，；（3）由（1），所以①，则②，①②得，，19．(1)分布列见解析，数学期望为；(2)①；②；【详解】（1）由题意知X的可能取值为0，1，2，，X012P所以．（2）①若两次都交换玩具车，则概率为，若