山东泰安市肥城市2026年高考适应性训练数学试卷（二）（含答案）

/2026年高考适应性训练数学试题（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】A【详解】因为，所以，，，所以在复平面内对应的点位于第一象限.2.若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】解不等式，得，则不等式的解集为，记使不等式成立的充分不必要条件为集合，则集合为集合的真子集，所以集合.3.已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下：12345236若其线性回归方程，且满足，则的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【分析】求出，再计算得到，得到与的另一个式子，联立可解【详解】，代入回归方程得：，联立得．4.已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可.【详解】由题意得圆心，半径，，，因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离，，，即，解得，则的取值范围为．5.某地区气温（单位：℃）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为地面温度，为常数．已知某时段该地区海拔为3（即）、5（即），两处的气温分别为、．下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时段为（）时段早晨中午傍晚夜晚（参考数据：，）A.早晨 B.中午 C.傍晚 D.夜晚【正确答案】A【分析】结合题意得到，进而求解方程得到，最后判断时段即可.【详解】已知，代入两组数据，两式相除消去，得，所以，代入，得，所以，两边取对数得，代入数据得，所以，所以此时间段为早晨．6.已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为（）A. B.81 C.80 D.90【正确答案】C【详解】因为为等差数列，且首项为：，设公差为则，所以则，，因为，，成等比数列，所以，所以，解得或当时，，，因为非常数列，所以舍去．当时，，所以．7.已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】结合题意与棱锥的体积公式得到，，再作图确定球心的位置，利用勾股定理求解球的半径，最后求解表面积即可.【详解】设，则，，所以的面积，而三棱锥体积．所以解得，即，，如图，取中点，过作平面的垂线，即平面，所以，所以球心在直线上，连接，，所以（为外接球半径），取中点，连接，得到，又因为，所以四边形为矩形，所以，，由勾股定理得，得到表面积．8.已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可.【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称，为偶函数，的图象关于对称，即，若，则，可得，而，化简得，周期，而任取，，在上单调递减，为偶函数，在上单调递增，函数图象关于点对称，故在上单调递增，在上单调递减，则，，，因为，所以．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，平行六面体的底面是菱形，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，则（）A. B.C.四点共面 D.【正确答案】ABD【分析】利用空间向量的加法法则结合模的性质判断A，利用空间向量的加法法则并结合题意判断B，根据异面直线的性质得到四点不共面判断C，利用空间向量的减法法则和数量积的运算律判断D即可.【详解】选项A，在平行六面体中，可得，，故A正确；选项B，，故B正确；选项C，由，平面可知，平面，从而为异面直线，四点不共面，故C错误；选项D，由于，可得，故D正确．10.已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（）A.若，则B.C.过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线D.直线，（为坐标原点）的斜率之积为【正确答案】AC【分析】联立方程组并结合韦达定理得到，，，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，分别求出对应直线的斜率，再判断C，D即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，联立，得，由韦达定理得，，，选项A，当时，，联立得，，．故A正确，选项B，由题意得．，故B错误，选项C，由题意知，则，，，，则，，三点共线．故C正确，选项D，由题意得，得到．故D错误.11.记的内角，，的对边分别是，，，已知，且满足，则下列说法正确的是（）A. B.的面积最大值为C.的一个可能值为 D.外接圆面积可能是【正确答案】ABC【分析】A将条件变形后，根据两角和差的正余弦公式化简，或即可；B利用基本不等式以及面积公式即可；C利用余弦定理得出，再求解一元二次函数的值域；D利用正弦定理求出外接圆半径的取值范围.【详解】选项A，方法一：，得到所以所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以A正确；方法二：所以所以因为，所以，所以，因为，所以，即，所以A正确；选项B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以B正确．选项C，因为，又因为，所以，所以，所以C正确．选项D，设外接圆半径为，因为，，所以，则，所以外接圆面积的取值范围为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数则__________．【正确答案】##【分析】利用分段函数解析式先求，再求的值.【详解】因为，所以，所以.故答案为.13.已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______．【正确答案】15【分析】由题意求出，进而判断其为等差数列，然后根据等差数列求和公式求出，最后将目标式合理转化，进而结合基本不等式求解最值即可.【详解】数列满足点在直线上，，，数列是首项为，公差为的等差数列，，，则，当且仅当，即时等号成立，的最小值为15．14.某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种．【正确答案】24【详解】方法一：记三种花分别为，，．4个角有2个格相邻（），边上中间8个格有3个格相邻（），中间4个格有4个格相邻（）．方格具有对称性，且，，等价，所以分为与（与）先行讨论．①4个边上都为1种花色，且只能为1种花色，所以图中共有2种花色，此时共有种种植方案．②一组对角为，一组对角为，花色并无影响，故可将其视为4个的小块．（i）的两个小块为同一种花色，如，共3种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案．（ii）的两个小块为不同种花色，如，共6种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案．综上所述，共有种种植方案．方法二：记三种花分别为，，，所有组合如下：共有种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0020（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式；（2）将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域．【正确答案】（1）00200（2）【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可；（2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到，最后利用正弦函数的性质求解值域即可.【小问1详解】根据表中已知数据，解得，因为，所以解得，，数据补全如下表：00200函数表达式为；【小问2详解】由（1）知，将函数的图象向左平移个单位后得到，再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，若图象的一个对称中心为，，解得，，由可知，当时，，因此；因为，所以，故在上的值域为.16.在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）法一作出符合题意的图形，结合中位线定理得到四边形为平行四边形，进而得到，最后利用线面平行的判定定理求解；法二直接利用中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可.（2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面，再建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可.【小问1详解】法一：如图，连接，交于，取中点，连接，．为中点，且，又且，且，所以四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面．法二：如图，连接，交于，连接．分别为中点，，平面，平面，平面．【小问2详解】四边形为菱形，，又，为等边三角形，为中点，，又，，，平面，平面，，又，，，平面，平面，如图，以为原点，在平面内过点作的平行线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．得，，，，，，．设，，，，，设平面法向量，且，，，令，解得，，而设平面法向量，则，由题意得二面角为，得到，化简得．故不存在点满足二面角等于．17.已知函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：．【正确答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）（i）；（ii）证明见解析.【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即可.（2）（i）利用极值点的意义，分离参数并构造函数，求出直线与函数图象有两个交点的范围即可；（ii）由零点意义可得，再利用分析法及不等式性质，换元并构造函数，利用导数推理得证.【小问1详解】当时，函数的定义域为，求导得，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】（i）函数的定义域为，求导得，由函数有两个极值点，得有两个不等的正实根，令函数，因此直线与函数的图象有两个不同的交点，求导得，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，，而，当时，，当时，，当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，所以实数的取值范围是.（ii）由（i）不妨令，由，得，两式相减得，即，要证，即证，即证，即证，令，则即证，令函数，求导得，函数在上单调递增，因此，即，所以.18.设双曲线：的一条渐近线方程的斜率为，其左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的右支交于点，．当与轴垂直时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）求的最小值；（3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：．【正确答案】（1）（2）9（3）证明见解析【分析】（1）根据双曲线的概念，以及线段的长度，求出双曲线的参数，写出双曲线方程即可.（2）根据向量数量积的坐标表示，设出点的坐标，和直线方程，联立方程组，根据韦达定理，求出向量数量积的表达式，根据函数单调性，求出最大值即可.（3）根据内切圆的性质，求弦长表达式，进而判断角的关系.【小问1详解】由题意知,在中，当时，，故，即,又因,联立方程组得，解得，故双曲线的标准方程为．【小问2详解】由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件．当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，，联立方程组得，化简得，可知，则，解得，则，因，则，故，即．故的最小值为9．【小问3详解】如图，设与边切于点，由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，，即点与点重合，即与边切于点．设与边切于点，则，在中，．设点，点，则，解得，即点在直线上．过点作直线的垂线，交直线于点，其中，，设点关于直线的对称点为点，所以．因为点与点，点与点分别关于直线对称，所以，且，所以点，，均在上，且，所以．19.在信道内传输仅含0和1两种数字的位数据信号，例如．数据传输时要经过个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，传对为0的概率为；每位数字1传错为0的概率为，传对为1的概率为，其中．在各次传输过程中，数据中各数字相互独立，且传输中无其它错误发生．信号经过个信号站传输后的信号为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等．（1）若，，求的分布列；（2）若，证明：的数学期望与无关；（3）若，且，证明：．【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）先考虑每一位的变化情况的分布情况，然后计算整个数据对应的分布列；（2）利用递推来找规律，可得，，即可证明结论；（3）由（2）可得，，得到的公式，再根据相应的公式求解结论.【小问1详解】传输两次后，1还是数字1，包括两种情形：或，所以同理，，，传输两次后，的取值有000，001，010，011，110，111，101，100，且000001010011