上海市青浦高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 含答案

/上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试高二数学试卷一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，则集合_____.【正确答案】.【分析】直接利用交集运算的概念得答案.【详解】因为，所以，故答案为.2.已知，则__________．【正确答案】【详解】3.已知复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为__________.【正确答案】1【分析】先由复数的运算求出，再求出的虚部即可.【详解】由可得，则的虚部为1.故1.4.在的二项展开式中，常数项是______．（用数值作答）【正确答案】160【分析】由二项展开式的通项令计算即可.【详解】展开式的通项为，令，所以常数项为.故160.5.已知，则在上的数量投影是__________.【正确答案】【分析】向量在上的数量投影为，先求出和的值，再代入公式计算.【详解】已知，，可得.已知，可得.根据向量投影的定义，在上的数量投影为，将，代入可得：.故答案为.6.不等式的解集是__________．【正确答案】【分析】零点分段法求解绝对值不等式.【详解】当时，，解得，此时解集为空集，当时，，即，符合要求，此时解集为，当时，，解得，此时解集为空集，综上：不等式的解集为.故7.已知随机变量的分布列为，则期望__________【正确答案】【详解】由题意得a=1−0.4−0.2=0.4所以期望EX8.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比______________．（用数值作答）【正确答案】【详解】解：∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h则球的表面积S球=4πR2又∵圆柱M与球O的表面积相等即4πR2=2πR2+2πR•h解得h=R则V圆柱=πR3，V球="4"/3πR3∴V圆柱：V球="3/"4故答案为3/49.一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________.【正确答案】【详解】由正方形的边长为，所以可得正四棱锥的斜高为，设正四棱锥的底面边长为，高为，所以，所以，所以正四棱锥的体积，令，求导得，令，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，所以，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为.10.已知是数列的前项和，且.若，则__________【正确答案】【详解】当时，，当时，，所以，又，所以，令，所以，所以，当所以.11.已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________.【正确答案】【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设，，则，，由可得，即，∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．设圆心为，则，∴，则，∴，设与轴交于点，由对称性可知轴，且，∴，即当与的夹角最大时，故12.机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_______．【正确答案】【分析】根据余弦定理可得，即可根据相似求解，进而根据椭圆方程求解，，即可由离心率公式求解.【详解】如图，设，因，故，又，由余弦定理，，即，设椭圆中心为O，作圆锥的轴截面AMN，与底面直径BC交于E，与椭圆交于P，Q，连AE交BD于G，以点O为原点，DB为x轴，建立直角坐标系．则，又由得，从而，则得，不妨设椭圆方程为，把和点P坐标代入方程，解得，则，故．故二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设均为非零实数,则“”是“”的什么条件()A.必要不充分 B.充分不必要C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.【详解】当,满足,但不成立不能推出.若,则故成立能推出“”是“”的必要不充分.故选:A.本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.14.已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【正确答案】C【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可.【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误；对B：若，，则或，故B错误；对C：根据线面垂直的定义可知，C正确；对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误.故选：C15.探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（）A.19 B.20 C.21 D.22【正确答案】B【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果.【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点，分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：由抛物线方程可知准线方程为，再由抛物线定义可得，因此光线从点到点经过的总路程为.故选：B.16.对于函数，若关于的方程，恰有个实数根，则称函数为“”函数。①函数的定义域且；②函数是“”函数，也是“”函数；那么同时满足条件①②的函数共有（）个A. B. C. D.【正确答案】A【分析】首先明确函数的一一对应属性，再根据“函数”的递推关系推导部分固定的函数值，结合值域限制确定剩余可自由分配的函数值范围，最后依据“函数”的附加条件，通过排列组合计算符合要求的分配方法总数.【详解】∵函数的定义域和值域均为，∴是定义域到值域的一一映射，即自变量与函数值一一对应.∵该函数为“函数”，满足，且的定义域为，∴当时，可得：，，.将代入，可得.结合值域为，和均为该集合内的元素，因此仅当时，符合要求，故，，.此时剩余未确定的函数值对应的值域元素为，结合，在剩余元素中仅满足倍数关系，因此，，此时又确定，，剩余待确定的自变量为，对应剩余值域元素为.∵该函数为“函数”，满足且该方程恰有个根，此时已确定是方程的两个根.根据“函数”定义，该方程恰有2个根，因此对于定义域内其他可能的根方程不能成立.当时，须有f4≠4；当时，须有f8对于剩余的自变量，其函数值需从中分配且：1.为选取取值：可从中任选个，共种选法，当取值于时，2f4的值分别为10,14,16，均不属于的取值范围4,5,7,8，故该条件恒成立；2.剩余的个自变量对应的函数值可从剩余的个未被占用的数值（包含4与另外两个未被选取的数值）中全排列，共种排法.因此总共有种不同的分配方法.方法归纳：此类新定义函数计数问题，解题步骤通常为：先根据新定义的递推规则确定部分固定的函数值，结合值域与映射属性排除不符合的情况，再根据附加条件限制自由变量的取值，最后通过排列组合计算符合要求的总方法数.易错归纳：容易遗漏的限制条件，导致多算符合要求的分配方法；同时需要准确确定剩余待分配的自变量与值域元素的范围，避免混淆变量与函数值的对应关系.三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.设等差数列的前n项和为，且.（1）若，求的公差；（2）若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差.（2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得.【小问2详解】由（1）得，由于是数列中最大的项，①，所以，即即解得，由于是整数，所以的可能取值是.18.在四面体中，.（1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积；（2）若，，求二面角的余弦值.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解；（2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，则为等腰直角三角形，且，又为正三角形，故，取BC的中点，连接DE，则，又平面平面，平面平面平面DBC，故平面，是三棱锥的高，则其体积；【小问2详解】由（1）且，又，则，且，又，所以二面角的平面角为，且.所以二面角的余弦值为.19.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名同学的阅读量(单位:本)统计结果用茎叶图记录如下(十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”)其中乙组记录有一个数据模糊，无法确认.在图中以表示（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求的所有可能取值；（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；（3）记甲组阅读量的方差为，在甲组中增加一名学生A得到的“新甲组”.若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为，若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为.通过计算比较的大小(结果精确到0.1)，并从数学角度解释这一现象.【正确答案】（1）1或2或3（2）（3）【分析】（1）利用茎叶图计算平均值，解不等式计算即可；（2）利用条件概率公式计算即可；（3）利用方差公式计算各方差，结合方差的统计意义解释即可.【小问1详解】甲组10名学生阅读量的平均值为：，乙组10名学生阅读量的平均值为：，由，又，且，所以的值可能为1或2或3.【小问2详解】阅读量超过15本的学生，甲组有2人，乙组有3人.设事件：抽取的学生为甲组学生，事件：抽取的学生为阅读达人.则，，所以.【小问3详解】对甲组：，所以.对新甲组1：，所以.对新甲组2：，所以.所以.数学解释：由于甲组均值为10，方差反映了数据的离散程度，当增加数据10（原样本均值），数据相对更集中，所以方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大.20.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．【正确答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【小问1详解】由题意，因为，为直角三角形，所以.又，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，,显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立消去得，，所以，即.且，因为，所以，所以，即，所以，整理得，即，化简得，即满足条件，所以直线的方程为或，即直线的方程为或.【小问3详解】由题意，,设直线的方程为,，则直线的方程为，，联立消去得，所以所以所以，同理联立消去得，所以所以所以，即的中点.所以，当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为.关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值..21.记.已知函数和的定义域都为，若存在、、、，使得，当且仅当x=xii=1,2,⋯,m时等号成立，则称和在上“次缠绕”（1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由；（2）设，，若和在上“次缠绕”，求的取值范围；（3）设，若和在上“次缠绕”，求的取值范围.【正确答案】（1）“次缠绕”，理由见解析（2）（3）【分析】（1）结合题设新定义，找到和时，，则得到其为“次缠绕”；（2）转化为互异的两个正数，使得hx·∏i=12（3）转化为互异的三个正数，使得Gx·∏i=13【小问1详解】函数fx=sinx,因为对任意，有x−π4x−5所以由“次缠绕”定义可知和在上“次缠绕”.【小问2详解】设hx因为和在上“次缠绕”，所以存在互异的两个正数，使得hx·∏i=12当且仅当x=xi,i由h'当时，，则在上单调递增，不满足题意；当时，令，得，令，得，则在上单调递增，在