四川自贡市普通高中2026届第三次诊断性考试数学试题 含答案

/数学本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.设集合，，则为（）A. B. C. D.3.若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.5.已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（）A.1 B. C.2 D.6.已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则（）A.4052 B.4051 C.2027 D.20267.已知函数的定义域为，，，，且，则（）A. B.C. D.8.已知双曲线：，为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为且公比，若，，则下列说法正确的是（）A. B.C.是等差数列 D.是等比数列10.函数，其导函数为，则下列说法正确的是（）A.若，则为的极值点B.若，则C.若，在单调递减，则D.若，，则无零点11.已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（）A.直线的方程为B.的面积为C.D.若曲线（）与在第一象限相交于、且，则三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知事件，相互独立，，，则______.13.已知（）的图象关于点中心对称，则______.14.三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知，．（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，边上的高为，求．16.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值；（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；17.如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为.（1）证明：；（2）动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值.18.已知椭圆：（）的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过右焦点斜率为（）的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），点，是椭圆上异于、的两点，平分，平分.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）动点与两定点、的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，将点，，看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.19.函数．（1）若，求单调区间；（2）当时恒成立，求的取值范围；（3）设，，请比较与大小，并说明理由．

数学本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用复数的除法运算结合虚部的概念求解即可.解答过程：复数，则,所以复数的虚部为2.设集合，，则为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：集合，，所以.3.若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用单位向量的定义结合数量积的定义求出，，，最后利用数量积的定义求解夹角即可.解答过程：因为是夹角为的单位向量，，，所以，，而，故，，故，所以，而，解得，则向量与的夹角为，故C正确.故选：C4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：将与代入求解即可.解答过程：当时，，f−2=sin5.已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（）A.1 B. C.2 D.答案：C解析：解答过程：因为二项式的展开式中所有项的系数和为32，令，可得.因为，且.6.已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则（）A.4052 B.4051 C.2027 D.2026答案：B解析：解答过程：由题设，则，又，则，则，而，所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，所以.7.已知函数的定义域为，，，，且，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：令判断A；令，判断B；利用得，令判断，令判断，然后可判断C；利用，结合判断D.解答过程：对A，令，则，又，所以，错误；对B，令，则，即，，错误；对C，令，得，所以，令，则，即，所以令，则，所以，即，所以，错误；对D，因为，所以，又，所以，正确.8.已知双曲线：，为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2 C. D.答案：B解析：思路：先写出双曲线的渐近线方程，再求左焦点关于该直线的对称点坐标，最后利用“对称点在圆上”建立方程，求出与的关系，进而得到离心率.解答过程：双曲线的渐近线为且双曲线的焦半径参数满足不妨取渐近线左焦点为设点关于直线的对称点为，已知点关于直线的对称点坐标公式把代入，得再代入可得所以因为点在圆上，所以由，上式化为即整理得所以再由得因为，故于是双曲线的离心率二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为且公比，若，，则下列说法正确的是（）A. B.C.是等差数列 D.是等比数列答案：AC解析：思路：结合题意求公比，判断选项A；结合等比数列性质计算，判断选项B；判断是否为等差数列，判断选项C；判断是否为等比数列，判断选项D解答过程：已知，等比数列前3项和，整理得：，解得（，舍去负根），A正确；由，可得，B错误；由，取对数得：，是关于的一次函数，相邻两项差为常数，因此是等差数列，C正确；等比数列前项和，因此：，所以，，，不满足等比数列的定义，D错误.10.函数，其导函数为，则下列说法正确的是（）A.若，则为的极值点B.若，则C.若，在单调递减，则D.若，，则无零点答案：BCD解析：思路：当时，明确函数的解析式，求导，根据导函数的符号确定函数的单调性，再判断函数的极值情况，可判断A的真假；根据可探究的关系，再根据基本不等式可得的取值范围，从而判断B的真假；当时，问题转化成当时，恒成立，再分离参数得，再结合的单调性，可求的取值范围，判断C的真假；当时，问题转化为时，方程无解，只需证恒成立，即可判断D的真假.解答过程：对A：当时，，.所以，当时，恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点.故A错误；对B：因为，由.所以，故B正确；对C：当时，，.则.函数在单调递减，可转化为当时，恒成立，即.因为时，单调递增，且，所以.故C正确；对D：当时，，.由.设，.则.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以当时，方程无解.即函数无零点.故D正确.11.已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（）A.直线的方程为B.的面积为C.D.若曲线（）与在第一象限相交于、且，则答案：ACD解析：思路：先由题意求出曲线的方程，再利用抛物线参数方程和焦点弦性质判断各选项.解答过程：由动点到点的距离比它到直线的距离小2，可得动点到点的距离与它到直线的距离相等，故动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线，故曲线是抛物线.设，因为点在第一象限，所以，因为，所以将代入，得到，故判断A，直线经过与，其斜率为所以故A正确；判断C，，解得，解得，解得或，故由于焦点在线段上，所以故C正确；判断B，点到直线的距离为所以的面积不是，故B错误；判断D，设为曲线与抛物线在第一象限的两个交点，其中因为在抛物线上，所以令则且又因为在曲线上，所以于是整理得即因为，所以从而再设则已知因为在轴正半轴上，所以由倍角公式得整理得由得所以于是故D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知事件，相互独立，，，则______.答案：解析：解答过程：由题设13.已知（）的图象关于点中心对称，则______.答案：解析：思路：利用中心对称的性质求出，结合余弦函数对称性求出即可.解答过程：由（）的图象关于点中心对称，得，，解得，而，则，，所以.14.三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______.答案：解析：思路：由线面垂直关系证明平面，求底面的外接圆半径，进而根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积.解答过程：如图所示，在中：，因此，即.在中：，因此，即.因为，且平面，根据线面垂直判定定理可得：平面.是边长为的等边三角形，由正弦定理，其外接圆半径满足：，解得，即.外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于，设球心到平面的距离为，由，得：，即，已知，故，，外接球半径满足：

由球的表面积公式，代入得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知，．（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，边上的高为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将已知边与角的关系式转化为纯三角函数式，再通过两角和的正弦公式展开化简，得到，结合三角形内角范围直接求得角．（2）先由边上的高和角求出边，再代入余弦定理建立关于的一元二次方程，解出的两个值后，根据“锐角三角形”条件，通过余弦值符号验证排除钝角情况，最终确定的值．（1）由，得，又，所以，因为，所以，化简得，所以，因为，所以．（2）如图，，在中，，所以，由，得，解得，，若时，，即为钝角，不满足条件；若时，，，满足条件，所以．16.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值；（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；答案：（1）（2）分布列见解析，1解析：思路：（1）根据频率之和为1列式计算即可；（2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可.（1）依题意可得，解得；（2）由（1）可得高度在的频率为，所以，，，，，所以的分布列为：X01234P所以.17.如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为.（1）证明：；（2）动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线线垂直可知，进而根据余弦定理求解长度，根据勾股定理求解垂直关系，即可建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解，（2）求解平面法向量，根据点面距离的向量法求解，即可根据向量的夹角公式求解.（1）由题意得，，所以是二面角的平面角，所以，因为，，平面，所以平面，由题意得，，由余弦定理可得，因为，所以，取中点，连接，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，所以，所以（2）设，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以点到平面的距离，解得，此时，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆：（）的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过右焦点斜率为（）的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），点，是椭圆上异于、的两点，平分，平分.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）动点与两定点、的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，将点，，看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）根据离心率及右焦点结合条件求解即得；（2）（ⅰ）根据三角形面积相等得到，设BFDF=μ及，结合向量的数乘，求出点坐标，代入椭圆方程求出，结合斜率及点在轴上方判断出范围，代入求解即可；（ⅱ）判断出点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，即与外接圆重合，结合阿波罗尼斯圆的定义及几何关系求出，代入圆的面积公式可求出点，进而求出直线方程.（1）由右焦点，得，由，得，所以，故椭圆的标准方程为.（2）（ⅰ）因为平分，所以，则，又，所以.令BFDF=μ，，则设，FD=x0−2,因为，两点在椭圆上，所以，2μ+1−μ即，32μ整理得μ+1因为，所以，即.因为直线的斜率，点在轴上方，则，所以15−2x所以的取值范围.（ⅱ）由（ⅰ）知，SBSD由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一交点为，则有，即，解得.又外接圆的面积为，即，所以，所以1BF又DF=所以1BF解得，，所以，所以直线的方程为.19.函数．（1）若，求单调区间；（