云南民族大学附属高级中学2025-2026学年下学期期中诊断测试高二数学试题 含答案

/2025-2026学年春季学期期中诊断测试高二年级数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚.并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知复数，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据复数的运算即可得到，从而得到即可.【详解】复数，故，故选:.2.已知集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【正确答案】A【分析】结合指数函数以及对数函数的性质求出集合，根据二者的关系，即可判断出答案.【详解】由可得，则；由，得，故，由于是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A3.已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为()A.1 B. C.2 D.4【正确答案】B【分析】利用等比数列的性质求解即可.【详解】因为，，为正项等比数列，所以，解得.故选：B．4.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】C【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果.【详解】先将五个人分为三组，每组的人数分别为、、或、、，若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组，则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种；若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇，只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种.接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为种.故选：C.5.已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（）A.3 B.5 C.7 D.9【正确答案】C【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，所以在圆外，故的最大值为.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】已知条件，利用辅助角公式化简可得，利用二倍角公式可求得，再利用诱导公式计算即可求得结果.【详解】由化简可得：，即，即，所以，.故选：D7.已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出函数的导数，通过导数判定函数的单调性，从而得到的取值范围【详解】令，则，令，在单调增，在单调减的取值范围为8.在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，当三棱锥的表面积最大时，其内切球的半径是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据和都是正三角形，写出三棱锥的表面积表达式，可得表面积取最大值时，再根据等体积法求得内切圆半径.【详解】设三棱锥的表面积为，则，当，即时，表面积最大为.此时,过作的垂线，垂足为，连接，因为和都是正三角形，所以为中点，，因为平面,所以平面为三棱锥的高，为三棱锥的高，设三棱锥的体积为，则设内切球的半径为，因为，所以，故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.向量，的夹角为 B.若，则C.若，则 D.向量在向量上的投影向量为【正确答案】ABC【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解.【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，若，则存在实数，使得，因为，所以不共线，所以，故C正确；对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误.故选：ABC.10.已知函数的一个对称中心为，则（）A.的最小正周期为B.C.在单调递增D.函数在有且仅有两个最小值，则实数的范围为【正确答案】ACD【分析】根据最小正周期公式即可判断A；对于B：可得，结合的取值范围运算求角；对于C：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数最小值点运算求解.【详解】对于选项A：因为的最小正周期，故A选项正确；对于选项B：因为函数的一个对称中心为，则，即，且，则，可得，解得，所以函数，故B错误；对于选项C：因为，则，且在内单调递增，所以在单调递增，故C正确；对于选项D：因为，则，若函数在有且仅有两个最小值，则，解得，所以实数的范围为，故D正确.11.已知等差数列的公差，前项和为，且，则（）A.B.或C.数列中不能取出无穷多项构成等比数列D.设，数列的前项和为，则【正确答案】AB【分析】利用已知条件可得与已知条件两式相减，结合是等差数列，可求的值即可判断选项A，令即可求的值，可判断选项B，分别讨论两种情况下，即可判断选项CD.【详解】对于A，，当时，有，两式相减得：an=a因为公差，所以数列中不为零的项有无穷多项，故对于且时，由∴2d=1，解得：，选项A正确；对于B，又当时，有，即a1=a1a1+对于C和D，又，或，当时：令，，则，则数列a2k−1是等比数列，又，∴T2此时T2当时：令，，则，则数列a2k+2是等比数列，又，∴T2n=故选项C错误，选项D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________．【正确答案】【分析】分析可知和是方程的两个实数根，利用韦达定理求的值，代入解分式不等式即可.【详解】不等式，即的解集为，则和是方程的两个实数根，则−2+3=a−2×3=−b则，等价于x+3x−6故该不等式的解集为．13.设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______.【正确答案】【分析】首先运用换元法令，根据解出的范围，再数形结合解出的范围即可.【详解】令，则，若，则，解得；若，恒成立，解得；若，则，解得.综上，或，即或.若，解得；，解得；结合的函数图象可知，若，则；若，，解得.综上所述，.故答案为.14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过其右焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，设的内切圆半径为，外接圆半径为，若，则双曲线的离心率为________．【正确答案】或【分析】本题考查双曲线的定义和简单几何性质的应用，由已知分别将，用，，表示，然后由求解即可．【详解】由已知的横坐标为，所以，得，则由双曲线的定义有，因为的内切圆半径为，所以由等面积得，所以，由于为直角三角形，斜边为，所以，又，所以，化简得，所以，解得或．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）证明：A＝2B；（2）若a＝3，b＝2，求的面积．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合余弦定理可得，再化边为角结合三角恒等变换即可证明；(2)结合(1)求得，由余弦定理求，再求，利用面积公式即可求解.【小问1详解】因为，所以，即，，，，，所以或，，又，所以；【小问2详解】由(1)，又a＝3，b＝2，所以，由余弦定理可得，因为，所以，所以的面积.16.如图，菱形的对角线与交于点，，，将沿折到的位置使得．（1）证明：．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据是菱形，得到，即，．再利用线面垂直的判定定理证明.（2）取的中点，连接，取的中点，连接,结合平面，得到平面，然后以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，由求解.【详解】（1）因为是菱形，所以，则，．因为平面，平面，且，所以平面．因为平面，所以．（2）取的中点，连接，取的中点，连接．因为，所以．因为，所以，所以．由（1）可知平面，所以平面平面，则平面．故以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由得，，，，，则，，．设平面的一个法向量为，则，令，得．设平面的一个法向量为，则，令，得．设平面与平面所成的锐二面角为，则．方法点睛：向量法求二面角的方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．17.某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量（单位：瓶）与天气温度（单位：）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气温度和饮料的销售量进行了数据收集，得到下面的表格：1015202530354041664256204840968192经分析，可以用作为关于的经验回归方程．（1）根据表中数据，求关于的经验回归方程(结果保留两位小数)；（2）若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分，需添加饮料的记2分，每台饮料自动售卖机在一天中需添加饮料的概率均为，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望．参考公式及数据：对于一组数据，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【正确答案】（1）（2）分布列见解析，【分析】（1）设，转化为，利用最小二乘法，求得，求得，进而得到关于的经验回归方程；（2）根据题意，得到变量的可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：设，由，可得，因为，，，所以，由表中的数据可得，则，所以，则，可得，所以关于的经验回归方程为.【小问2详解】解：由题意，随机变量的可能取值为，可得，，，，所以变量的分布列为3456P所以，期望为18.已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；（2）探究的最小值；（3）当时，求的最小值的极值．【正确答案】（1）（2）（3）极大值为，无极小值．【分析】（1）求导得，，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）对求定义域，求导，根据a取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值；（3）令，对函数求导，即可求解.【小问1详解】当时，，，则，，所以切线的方程为【小问2详解】定义域为．当时，，则在上单调递增，故没有最小值；当时，在单调递减，在单调递增，所以综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为；【小问3详解】由（2）可得设，则，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，无极小值．19.如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.（1）求“等差椭圆”的离心率；（2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.【正确答案】（1）；（2）（i）或；（ii）证明见解析.【分析】（1）根据等差椭圆的定义，结合构造齐次式即可得解；（2）（ⅰ）设切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，利用判别式求解即可；（ⅱ）利用点差法求，利用韦达定理求出点坐标，然后可解.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，又，所以，