云南曲靖市宣威市2026届高三第二次模拟考试数学试题 含答案

/数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】解不等式得，故M=x0<解不等式得，故，所以.2.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】，其对应点为，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，对应点为，则．3.经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】由题可知左顶点，上顶点，则n−00−−所以nm所以椭圆的焦点在y轴上，所以e=4.若曲线的一个对称中心为，则不可能是（）A.2 B.5 C.8 D.12【正确答案】D【详解】，，当时，，A满足；当时，，B满足；当时，，C满足；当时，，D不满足．5.已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小.【详解】由得函数的图象关于对称，根据已知及单调性的定义，知在上为减函数，所以在上为增函数，，且，．6.已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【正确答案】B【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解.【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O，则，当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1．7.若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围.【详解】由，可得，即表示圆的上半部分（包含与x轴交点），当圆心到直线的距离为3时，此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6，由点到直线距离公式，可得，结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6，此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形，所以，可得，故n的取值范围为．8.已知正项数列的前n项和为，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据已知关系式得到数列是首项为2、公差为1的等差数列，从而求得的通项公式，则有，应用放缩法、裂项法求和确定范围.【详解】因为，所以，且，因此数列是首项为2、公差为1的等差数列，则，所以，令，则，因为，所以，，因此，．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（）A.该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性B.男生中抽取的样本量为24C.该校高三年级学生身高的平均数估计值为165D.该校高三年级学生身高的方差估计值为40【正确答案】BD【详解】A，比例分配的分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故A错；B，由题抽样比例为，故男生被抽到人数为人，故B对；C，估计该校高三年级学生身高的平均数为：，故C错；D，估计该校高三年级学生身高的方差为：244010.如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，为正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）A.若点在棱上运动，则与一定为异面直线B.若点在棱上运动，则存在点，使得平面C.若点是底面内一点（包括边界），且点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分D.若点为中点，则三棱锥体积为【正确答案】ACD【分析】对于A，根据异面直线的定义即可判断；对于B，作出过点与平面平行的正方体的截面，即可判断；对于C，由题意可得点到定点的距离等于点到定直线的距离，根据抛物线的定义即可判断；对于D，判断平面，根据即可判断.【详解】当点在棱上运动时，在平面上，而与平交，且交点不在上，所以与既不相交也不平行，一定为异面直线，故A正确；如图1，取分别为中点，则四边形为过点与平面平行的正方体的截面，与棱无交点，故B错误；当点在底面内运动时，由底面可得点到直线的距离即为，则在平面内，点到定点的距离等于点到定直线的距离，由抛物线定义可得点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线的一部分，故C正确；如图2，取为中点，设与交于点，因为为中点，易证与全等，故，因为，所以，所以，又因为平面，平面所以，又，所以平面，，故D正确．11.已知满足，且外接圆半径为1，则（）A.B.C.当面积取得最大值时，D.当周长取得最大值时，【正确答案】AC【分析】应用二倍角正余弦公式、和角正弦公式及整理化简判断A，根据A的结论得B=A+π2C=【详解】A，已知，变形可得，即，即，故A对；B，由A知或cosA−即或，即cosA+π即（舍）或或B−π4故B=A+π2故a2C，易知，S△ABC当，即时，面积最大，且为，故C对；D，设周长为l，则．令，，则，显然，f'故不会是的极大值点，即若周长存在最大值，，故D错．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等比数列的前n项和，若，则_____________．【正确答案】【详解】若等比数列的公比为，则，而，则，其中，解得，又，解得，故．13.已知圆锥的高为，A，B为底面圆周上两点且满足，，则该圆锥的体积为_____________．【正确答案】【分析】根据已知及圆锥的结构特征列方程求底面半径，再应用圆锥的体积公式求体积.【详解】如图所示，取中点C，连接，，由题意可得，，，，为等边三角形，设该圆锥的底面半径为a，则，，故PC2=因为，所以12⋅a⋅即a2−1a2+514.一项比赛由A，B，C，D，E共5人参加，任意两人之间都需要比赛一场并且分出胜负，若5人实力相当（即每场比赛两人胜负概率均为），则A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的概率为_____________．【正确答案】【分析】首先得到比赛共有种可能的胜负情况，分析得A的胜场数只可能为4或3，再分情况讨论研究A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率.【详解】由题意，共比赛场比赛，这些比赛共有种可能的胜负情况，要使A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多，则A的胜场数只可能为4或3．若A胜4场，则剩下6场比赛共有种胜负情况，均满足条件．若A胜3场，此时B、C、D、E各至多胜2场且胜场数为7，故恰有其中一人胜1场，其余三人均胜2场，由对称性，只需考虑A胜于B、C、D且负于E的情况数，记为．若E胜1场，则E胜A且负于B、C、D，则B、C、D之间的比赛各自一胜一负，共2种情况；若E胜2场，除胜A外，E还另胜了一场（有3种可能），不妨设E胜于A、B，负于C、D，此时C、D之间的胜负情况有2种，不妨设C胜于D，由于C已胜于D，必负于B，而B、D之间胜负情况（有2种可能），无论如何均满足条件，从而，根据对称性，满足A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的情况数为，则A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的概率为1202四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若函数，求方程在上的解的个数．【正确答案】（1）（2）3【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得；（2）应用三角恒等变换化简函数为，再由正弦函数的性质求区间内的零点个数.【小问1详解】的最小值为，所以，的最小正周期，得，又，所以，结合图象可知，即，，，；【小问2详解】，∴令，即，又，，∴当或或时，，分别对应，，，故方程在上的解的个数为3.16.某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，且由样本数据绘制频率分布直方图如图：（1）求a的值；（2）从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望．【正确答案】（1）（2）X0123P【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值；（2）首先确定随机变量的可能值，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望.【小问1详解】由直方图得，则；【小问2详解】区间中有5袋食盐，区间中有5袋食盐，且质量不合格的食盐所在区间为和，从中随机抽取3袋，则X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为：X0123P所以.17.如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）．（1）证明：；（2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点为E，连接，，易得，，根据线面垂直的判定、性质证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角余弦值的范围.【小问1详解】如图，取中点为E，连接，，因为，，所以，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】因为为等腰三角形，，即，所以，因为为等边三角形，所以，故，，因为，则，即，又，，所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系,则，，，设平面的法向量为，，，则，即3y1−z1=0设，所以，则，故，设平面的法向量为，，则m⋅CA=0m⋅CF=0所以，令，则，所以，因为时，，所以，所以cosα18.已知，．（1）若，求的单调区间和极值；（2）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围；（3）设，求中元素个数的所有可能值．【正确答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值1，无极大值．（2）（3）【分析】（1）对进行求导，利用导函数求出单调区间，即可求出答案；（2）通过求导得到的单调性，当不符合题意，当时，根据题意得到，，解不等式即可求出答案；（3）设为方程在上的解的个数，为方程在上的解的个数，可化为，可化为，令，，分别求导求出和，根据即可求出答案.【小问1详解】当时，，函数定义域为，，令，则当时，当时，且，所以的单调减区间为，单调增区间为，在处取到极小值，无极大值．【小问2详解】因为，所以，①若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去；②若，令（舍去），当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，因为在上存在极小值点，所以，解得，又因为在上存在零点，且，当，，所以，即，解得，综上，参数的取值范围为．【小问3详解】设为方程在上的解的个数，为方程在上的解的个数，显然,对于方程，因为，所以，则等价于，对于方程，等价于，设，，，时，，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，故在取得最小值，又因为，；，，所以方程的解的个数为S1a，则当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故在取得最小值，又因为，；，，所以方程的解的个数为S2a因为，所以当时，，当时，，当时，，综上，的所有可能值为．19.已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点．设点P、Q、R是上不同的三点，点Q、点P分别在的左支、右支上．（1）已知点在上，过作x轴的平行线，与双曲线的两条渐近线交于M、N两点，．（i）求的标准方程；（ii）的外心为D（异于原点O），若直线、、、的斜率均存在且不为0，分别记为、、、，探究是否为定值．（注：）（2）设直线与直线交于点E，直线与直线交于点G，求证：．【正确答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），是定值．（2）证明见解析【分析】（1）（i）由点在曲线上并求出的坐标，应用向量的坐标表示列方程求参数值，即可得；（ii）设、不过原点O，，，，，应用点差法得到k1=x1+x24y1+y2、k2=x2+（2）设直线的方程为，且，，联立双曲线及韦达定理得、且直线为，直线为，联立得Gkx2+ma2mx2+【小问1详解】（i）由题得，过与x轴平