高三数学（文）一轮复习课堂达标52随机事件的概率

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(五十二)[A基础巩固练]1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有()A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定[解析]随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．[答案]D2．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则这次试验中，事件A∪eq\x\to(B)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eqB.q\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)[解析]由于事件总数为6，故P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，从而P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，且A与eq\x\to(B)互斥，故P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故选C.[答案]C3．从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球[解析]选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．[答案]B4．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]①正确；②公式成立的条件是A，B互斥，故错误；③A∪B∪C不一定为全部事件，故错误；④A，B不一定为互斥事件，故错误．[答案]D5．(2018·襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.[答案]A6．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是()A.eq\f(1,10)B.eqB.\f(3,10)C.eq\f(7,10)D.eqD.\f(3,5)[解析]“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A)＝eq\f(3,10).因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).[答案]C7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______．[解析]20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为eq\f(5,20)＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.[答案]0.258．向三个相邻的军火库投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也要爆炸，则军火库爆炸的概率为______．[解析]设A、B、C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A、B、C彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.设D表示军火库爆炸，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所以军火库爆炸的概率为0.225.[答案]0.2259．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为______；至少取得一个红球的概率为______．[解析]由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).[答案]eq\f(8,15)eq\f(14,15)10．(2018·潍坊模拟)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？说明理由．[解析](1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事件，理由如下：B与C都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B与事件C可能同时发生，故不是互斥事件．(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P＝eq\f(13,25)＞eq\f(1,2)，故这种游戏规则不公平．[B能力提升练]1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7)B.eqB.\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1[解析]设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).[答案]C2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件[解析]由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．[答案]D3．某小组3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，有下列四对事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生．其中是互斥事件的为______．[解析]①是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．②不是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”“两名都是女生”两种结果，当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了．③不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．④是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．[答案]①④4．若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围是____________．[解析]∵由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1,0<PB<1,PA＋PB≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1,0<3a－4<1，,2a－2≤1))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2).[答案]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2)))5．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解析](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.[C尖子生专练](2018·武汉模拟)一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1个球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率．(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[解]记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4