《平面与平面平行的性质》习题

《平面与平面平行的性质》习题在立体几何的学习中，平面与平面平行的性质是继平面与平面平行的判定之后的重要内容。它不仅深化了我们对空间平行关系的理解，也为解决空间几何问题提供了有力的工具。掌握这些性质，并能灵活运用于解题，是学好立体几何的关键环节之一。本文将通过一系列习题，帮助读者巩固和深化对平面与平面平行性质的理解与应用。一、基础回顾与理解在开始习题之前，我们先简要回顾平面与平面平行的几条核心性质定理：1.性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（即：若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a∥β。）2.性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（即：若平面α∥平面β，平面γ∩α=a，平面γ∩β=b，则a∥b。）3.性质定理3：夹在两个平行平面间的平行线段相等。（即：若平面α∥平面β，直线AB∥直线CD，且A、C∈α，B、D∈β，则AB=CD。）这些性质定理是我们解决后续习题的理论依据，务必深刻理解其条件和结论。二、习题精练与解析（一）判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b。（）2.若平面α∥平面β，平面γ与α相交，则γ与β也相交。（）3.如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线没有公共点。（）4.平行于同一平面的两个平面平行。（）解析：1.×。理由：分别位于两个平行平面内的直线可能平行，也可能异面。仅有平面平行这一条件，不能保证直线a与直线b平行。2.√。理由：假设γ与β不相交，则γ∥β。又因为α∥β，根据平行平面的传递性（虽然教材中可能未明确作为定理，但可由定义和反证法推得），则α∥γ，这与“平面γ与α相交”矛盾，故γ与β必相交。3.√。理由：若两个平面平行，则它们没有公共点。因此，分别在这两个平面内的直线也不可能有公共点（若有公共点，则该点为两平面的公共点，与面面平行矛盾）。4.√。理由：这是平面平行的传递性。可简述为：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。（二）填空题1.已知平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N，线段AD分别交α、β于点P、Q，线段BC分别交α、β于点R、S，若AM=m，BN=n，MN=p，则△MPS与△NQR的相似比为________。2.平面α∥平面β，点A、C∈α，点B、D∈β，直线AB与CD交于点S，若AS=8，BS=9，CD=34，则CS的长为________。解析：1.(m):(m+p)或(n):(n+p)。思路：因为α∥β，平面ABD分别与α、β交于MP、NQ，由性质定理2知MP∥NQ。同理，平面ABC分别与α、β交于MR、NS，知MR∥NS。所以∠PMS=∠QNR，∠PSM=∠QRN，故△MPS∽△NQR。相似比为MP/NQ=AM/AN=m/(m+p)，或MR/NS=BM/BN=n/(n+p)（这里AM=m，MN=p，故AN=AM+MN=m+p；BM=BN+NM=n+p？此处需注意AB的方向，若M在A、N之间，则AN=AM+MN=m+p，BM=BN-MN=n-p（若n>p），题目未明确，可能默认M在A、N之间，N在B、M之间？原题描述“线段AB分别交α、β于点M、N”，通常理解为A在α一侧，B在β一侧，所以M在α上，N在β上，故AM=m，MN=p，NB=n，则AB=AM+MN+NB=m+p+n？或者M、N的顺序？若A∈α，B∈β，则AB与α交于A，与β交于B，这与题意不符。因此，更合理的是A、B在两平行平面同侧，线段AB穿过α、β，交α于M，交β于N。此时AM=m，MN=p，则AN=AM+MN=m+p，NB=BN=n（题目给出BN=n），所以AB=AM+MN+NB=m+p+n。则MP∥NQ，△AMP∽△ANQ，故MP/NQ=AM/AN=m/(m+p)。因此相似比为m/(m+p)。2.16或136。思路：因为AB与CD交于点S，所以A、B、C、D、S共面。由于α∥β，故AC∥BD（性质定理2，平面SAC与α、β的交线为AC、BD）。因此，△SAC∽△SBD。情况一：点S在α、β之间。则SA/SB=SC/SD。设CS=x，则SD=CD-CS=34-x。于是8/9=x/(34-x)，解得x=16。情况二：点S在α、β同侧。则SA/SB=SC/SD。设CS=x，则SD=CS-CD=x-34。于是8/9=x/(x-34)，解得x=136。（三）解答题1.已知平面α∥平面β，点P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、B两点，过点P的直线n与α、β分别交于C、D两点，且PA=6，AB=9，PD=8，求PC的长。解析：解：因为平面α∥平面β，直线m与n交于点P，所以直线m与n确定一个平面γ。平面γ与α交于AC，与β交于BD。由平面与平面平行的性质定理2可知，AC∥BD。因此，△PAC∽△PBD。所以，PA/PB=PC/PD。已知PA=6，AB=9，则PB=PA+AB=15（若点P在α、β同侧，则PB=|PA-AB|，但PA=6<AB=9，故P不可能在A、B之间，只能在α、β同侧，此时PB=AB-PA=3？此处需仔细分析点P与两平面的位置关系。）（关键：明确点P与两平行平面的相对位置）*情况1：点P在平面α和平面β的同侧。此时，直线m与α、β的交点A、B位于P的同一侧，且PA<PB。所以PB=PA+AB=6+9=15。由△PAC∽△PBD，得PA/PB=PC/PD。即6/15=PC/8，解得PC=(6×8)/15=48/15=16/5=3.2。*情况2：点P在平面α和平面β之间。此时，直线m与α交于A，与β交于B，点A、B分别位于P的两侧。所以PB=AB-PA=9-6=3。由△PAC∽△PBD（注意此时对应边比例仍成立，因为AC∥BD），得PA/PB=PC/PD。这里的PA、PB是指线段的长度，方向不影响比例的绝对值。即6/3=PC/8，解得PC=16。综上，PC的长为16/5或16。2.如图，已知平面α∥平面β，线段GH分别交α、β于点G、H，线段GD分别交α、β于点A、D，线段HE分别交α、β于点B、E。求证：GA/AD=HB/BE。证明：连接AB、DE。因为平面α∥平面β，平面GDE分别与α、β交于AB、DE，由平面与平面平行的性质定理2可得：AB∥DE。所以，在△GDE中，GA/AD=GB/BE？（此处应为GA/AD=GB/BG？不，连接的是AB和DE。）（修正：连接的是AD和BE所在的平面）正确辅助线与证明：连接AB和DE。因为平面α∥平面β，平面GAD分别与α、β交于GA、AD所在的直线（即直线GD与α交于A，与β交于D），平面HBE分别与α、β交于HB、BE所在的直线（即直线HE与α交于B，与β交于E）。更准确地，考虑过GH的平面分别与α、β交于直线AB和直线DE（因为G、H分别在α、β上，所以GH是两平行平面外的一条线段，过GH的平面与α交于GB（或GA所在的部分），与β交于HE（或HD所在的部分）？或许更清晰的是：由于α∥β，平面GHE与α交于GB，与β交于HE，所以GB∥HE。同理，平面GHD与α交于GA，与β交于HD，所以GA∥HD。在平面GHD中，GA∥HD，所以△GAB∽△GDE？不，应在两个相关三角形中应用平行线分线段成比例。在△GHD中，因为GA∥HD（由面面平行性质，平面GHD与α、β的交线GA、HD平行），所以GA/AD=GB/BH？（此处G、B、H共线吗？题目说“线段GH分别交α、β于点G、H”，所以G在α上，H在β上。线段GD交α于A（G在α上，所以A就是G？这不可能。题目描述可能应为：线段GD分别交α于A、交β于D，线段HE分别交α于B、交β于E。这样G、H是GH与α、β的交点，G∈α，H∈β；GD与α交于A（A∈α），与β交于D（D∈β）；HE与α交于B（B∈α），与β交于E（E∈β）。）明确点的位置后重新证明：因为α∥β，平面GAD与α交于AG（A∈α，G∈α，所以AG在α内），与β交于AD？不，GD是一条直线，与α交于A，与β交于D，所以A∈α，D∈β，G在直线GD上，可能G在α外？题目原始描述“线段GH分别交α、β于点G、H”，这意味着G是GH与α的交点，H是GH与β的交点，所以G∈α，H∈β。“线段GD分别交α、β于点A、D”：则GD是一条线段，它与α交于A，与β交于D。因为G∈α，所以线段GD的一个端点G在α上，故GD与α的交点A就是G本身？这显然矛盾。因此，题目正确的描述应为：直线GD分别交α于A、交β于D，直线HE分别交α于B、交β于E。这样就合理了：点G、H分别是直线GH与α、β的交点（G∈α，H∈β）；直线GD与α交于A（A∈α），与β交于D（D∈β）；直线HE与α交于B（B∈α），与β交于E（E∈β）。在修正后的条件下证明：连接AB、DE。因为α∥β，平面GDE与α交于AB，与β交于DE，根据平面与平面平行的性质定理2，可得AB∥DE。所以，在△GDE中，GA/AD=GB/BE。①（平行线分线段成比例定理）同理，连接GB、HE。因为α∥β，平面GHE与α交于GB，与β交于HE，根据平面与平面平行的性质定理2，可得GB∥HE。所以，在△GHE中，GB/HE=GA/GH？不，我们需要的是与HB/BE相关的比例。或者，在直线GH上，因为GB∥HE，所以△GAB∽△HDE？更简洁的思路：由于AB∥DE，所以GA/AD=GB/BE（来自△GAB∽△GDE，对应边成比例）。由于GB∥HE（平面GBE与α、β的交线），所以GB/HE=GH/GH=1？不。（最终正确证明）因为AB∥DE，所以∠GAB=∠GDE，∠GBA=∠GED，故△GAB∽△GDE。所以GA/GD=GB/GE，即GA/(GA+AD)=GB/(GB+BE)。交叉相乘得：GA(GB+BE)=GB(GA+AD)展开：GA·GB+GA·BE=GB·GA+GB·AD消去GA·GB：GA·BE=GB·AD所以GA/AD=GB/BE。②又因为α∥β，平面GBH与α交于GB，与β交于HE，所以GB∥HE。同理，在△HGB和△HHE（？不），因为GB∥HE，所以△HGB∽△HHE？在直线GH上，设GH与GB、HE的关系，因为GB∥HE，所以△GBH∽△EHH？不，点H是HE与β的交点，也是GH与β的交点。因为GB∥HE，所以由平行线分线段成比例定理，在直线GH上，有GB/HE=GH/GH=1？这显然不对。应该是在过G、H的直线上，考虑截线。（换个角度，利用三棱锥的截面）考虑三棱锥G-HDE，平面α平行于底面β（即平面HDE），平面α与三棱锥的侧棱GD交于A，与侧棱GE交于B，与侧棱GH交于G（因为G∈α）。根据“平行于底面的截面与棱锥的侧棱成比例”的性质（这一性质本质上就是平面平行的性质定理2的应用），可得GA/GD=GB/GE，这与①式一致，即GA/(GA+AD)=GB/(GB+BE)，化简后同样得到GA/AD=GB/BE。原题要证GA/AD=HB/BE。对比②式，只需证GB=HB。但GB和HB是否相等？因为G∈α，B∈α，H∈β，E∈β，GB是α内的线段，HE是β内的线段，且GB∥HE。GH是连接G（α上）和H（β上）的线段。在平面GBEH中，GB∥HE，所以四边形GBEH是梯形（GB∥HE）。要证GB=HB，即证该梯形为等腰梯形，但题目没有给出此条件。（发现题目可能存在表述不清或我理解有误）回到原题：“线段GH分别交α、β于点G、H”，即G在α，H在β。“线段GD分别交α、β于点A、D”，即GD与α交于A，与β交于D。由于G在α上，所以线段GD的起点G就在α上，那么GD与α的交点A就是G。同理，若H在β上，线段HE与β的交点E就是H。这样题目就变成：A=G，E=H。则GA=0，HB=0，此时GA/AD=0=HB/BE，等式成立。但这样题目就失去了意义。因此，最合理的初始理解是：点P（或G）在两平行平面外，直线PG交α于A，交β于D；直线PH交α于B，交β于E。线段A