河北省廊坊市霸州市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题（解析版）

—2025学年度第二学期过程性教学质量监测（4月）八年级数学注意事项：1.本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟．2.答卷前将密封线左侧的项目填写清楚．3.答案须用黑色字迹的签字笔书写．一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和最简二次根式的定义．利用二次根式的化简和最简二次根式的定义，即根号内不含分母和开的尽方的因数或因式，逐项进行判断即可．【详解】解：A.选项：不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；B.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；C.选项：是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；D.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；故选C．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算．逐一分析各选项的运算是否正确，利用二次根式的性质和运算法则进行判断．【详解】A.与非同类二次根式，无法直接相加，故错误；B.，故错误；C.，故错误；D.，则，计算正确．故选D．3.以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A.2，3，4 B.3，4，6C.6，8，15 D.5，12，13【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【详解】解：A．，，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；B．，，，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；C．，不能构成三角形，故选项不符合题意；D．，，，能构成直角三角形，故选项符合题意；故选：D．4.如图，在正方形中有一点，连接，，.若为等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．求得，，根据三角形内角定理和等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，，∴，故选：C．5.一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】解：∵点对应的刻度为，∴，∵，点为边的中点，∴，故选：B．6.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可．【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意；B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意；C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意；D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意．故选：B．7.海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（）A.12 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可．【详解】解：由题意得，∴，故选：D．8.如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.三个角都是直角的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是矩形【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案．【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，∴书架是平行四边形，∵书架的对角线相等，∴书架是矩形，∴书架是四个角都是直角，这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故选：C．9.由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理求出的值，结合图形即可求解．【详解】解：∵正方形的面积为10，，∴，∴在中，，∵四个直角三角形全等，∴正方形的边长为：，故选：A．10.如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（）甲方案：在上取，连接，，，；乙方案：作，分别平分，，连接，；丙方案：作于点，于点，连接，．A.甲，乙，丙都是 B.只有甲，乙是 C.只有甲，丙是 D.只有乙，丙是【答案】A【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；．【详解】解：甲方案：连接交于O，如图，在中，，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，故甲方案正确；乙方案：在中，，，，∴，∵、分别平分、，∴，，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴四边形为平行四边形，故乙方案正确，丙方案：在中，，，∴，∵，，∴，，在和中，∴，∴，又，∴四边形为平行四边形，故丙方案正确；故选：A．11.若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，故选：C．12.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取的中点，连接、、，作于，四边形是平行四边形，，，，，，是等边三角形，，，，，，在中，，，，，，，点在上，的最大值为的长，最小值为的长，的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，的最大值与最小值的差为：．故选：．【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形、含的直角三角形的特征、三角形中位线定理，解题关键是构造以为中位线的三角形．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．【答案】【解析】【分析】本题考查求点到原点的距离，利用两点间的距离公式进行计算即可．【详解】解：由题意，得：点到原点的距离是；故答案为：．14.已知是整数，则正整数的最小值是______.【答案】6【解析】【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【详解】∵，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为6．【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．15.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是_____．【答案】625【解析】【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=122+162+92+122=625；故答案为：625．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义．16.如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个．【答案】5【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题．详解】解：如图所示，根据网格的特点可得，四边形，，，，为平行四边形，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．（1）先化简，再合并同类二次根式即可；（2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式．18.【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为．【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度．（1）用含的式子表示为_____；（2）请你求出旗杆的高度．【答案】（1）（2）12米【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．（1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可；（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．小问1详解】解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是∴米．故答案为：；【小问2详解】解：在直角中，由勾股定理得：，即．解得．答：旗杆的高度为12米．19.嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．（1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．（2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）（2）淇淇的说法正确，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键．（1）根据题意可列出式子计算求解即可；（2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：淇淇的说法正确，理由如下：，∴，∵，∴的值能与合并，∴淇淇的说法正确．20.如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点O．

（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质和判断，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．（1）根据平行四边形的性质得出，则，再根据中点的定义，得出，即可求证四边形为平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得出，再根据三角形的中位线定理，即可解答．【小问1详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵点E、F分别为线段、的中点，∴，∴四边形为平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵点F为的中点，∴．21.如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，．（1）求之间的距离；（2）求四边形面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．（1）利用勾股定理即可求出答案；（2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案．【小问1详解】解：连接，在中，，，，由勾股定理得，，∴之间的距离为；【小问2详解】∵m，m，m，∴，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，所以四边形的面积为．22.如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求：（1）两条小路的长度；（2）菱形花坛的面积．结果保留根号【答案】（1），（2）【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，菱形的对角线平分一组对角可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出即可；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键．【小问1详解】解：花坛是菱形，，，，，中，，，，；【小问2详解】解：．答：菱形花坛的面积是．23.有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．（1）求矩形木板的长和宽；（2）若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料；（3）若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？【答案】（1）（2）能（3）