河北省廊坊市安次区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题（解析版）

-2025学年第二学期期中教学质量评估八年级数学试卷注意事项：1．本试卷总分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上．3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4．考试结束，监考人员将答题卡收回．卷Ⅰ（选择题，36分）一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1.下列是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2．【详解】解：选项A：是分数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意；选项B：是整数，不含根号，不符合二次根式的形式，不符合题意；选项C：中，被开方数，满足非负条件，且根指数为2，符合二次根式的定义，符合题意；选项D：中，被开方数为，在实数范围内无意义，不符合题意；故选：C．2.在中，，，，则的长为（）A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．【详解】解：根据勾股定理，．故选：C．3.如图，在中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，故选：C．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算进行判断即可．【详解】解：A、、被开方数不同，不能合并，计算错误，不合题意；B、，计算错误，不合题意；C、，计算错误，不合题意；D、，计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．5.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.4，5，6 B.7，24，25 C.2，3，4 D.1，，3【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、最长边为6，验证，而，∵，∴不能构成直角三角形；B、最长边为25，验证，而，∵，∴能构成直角三角形；C、最长边为4，验证，而，∵，∴不能构成直角三角形；D、最长边为3，验证，而，∵，∴不能构成直角三角形；故选：B．6.若，则表示实数的点会落在数轴的（）A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．详解】解：，即，，，，即，故实数的点会落在数轴的段②上，故选：B．7.如图，在中，对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得O是的中点，进而由是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．【详解】解：∵是平行四边形，∴O是的中点，又∵是的中点，∴是的中位线，∴，故选：B．8.如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，，，则平行四边形的周长为（）A.8 B.14 C.16 D.10【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，求出，据此根据平行四边形周长计算公式可得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵的平分线交于点E，∴，∴，∴，∵，∴平行四边形的周长，故选：C．9.某校在消防主题公园周边修了3条小路，如图，小路，恰好互相垂直，小路的中点刚好在湖与小路的相交处，若测得的长为，的长为，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用勾股定理求出的长后，即可解答．【详解】解：∵，，，∴中，，∵为中点，∴，故选：C．10.计算：的结果是（）A. B. C.40 D.7【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断．【详解】解：．故选：D．11.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【详解】解：根据勾股定理可得：

x2=（x-4）2+（x-2）2，

故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．12.如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当时，平行四边形是菱形B.当时，平行四边形是矩形C.当时，平行四边形是菱形D.当且时，平行四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键．根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定．【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；D．当且时，平行四边形正方形，故该选项正确，不符合题意．故选A．卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上）13.计算：______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握．先根据二次根式性质将转化为，再计算绝对值得到结果．【详解】根据二次根式的性质（为任意实数），对于，这里，则，又因为绝对值的定义是：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，是负数，所以，即．故答案为：．14.如图，的对角线与相交于点．若，则的长是___________．【答案】10【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：10．15.如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________．【答案】18【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案．【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据题意，可得，∵所有三角形都是直角三角形，∴，∴，即正方形的面积为18．故答案为：18．16.如图，菱形的周长为，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则周长的最小值是____．【答案】【解析】【分析】因为菱形的周长为8，则，连接，与交于点，连接，此时值最小．因为四边形是菱形，，推出为等边三角形，所以，因为E是中点，则，，所以则，即可求得周长的最小值．【详解】解：菱形的周长为，，点A与点C关于对称，连接，与交于点，连接，如图，则，此时，值最小．四边形是菱形，，，，为等边三角形，，是中点，∴，，，．周长的最小值是．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，难度适中，确定点P的位置是解题的关键．三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答题应写出文字说明或演算步骤）17.计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，解决本题的关键是根据二次根式的性质把各个二次根式化为最简二次根式，再进行计算．首先把算式中的二次根式分别化为最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；根据平方差公式可得：原式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．18.在计算时，小明的解题过程如下：解：原式①②③④（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．【答案】（1）③（2）【解析】【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．（1）指出二次根式运算错误的步骤即可；（2）写出正确的解答过程即可．【小问1详解】小明从第③步开始出错的；故答案为③；【小问2详解】原式．19.如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，，（1）求的度数；（2）求平行四边形的周长．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：（1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解；（2）根据平行四边形性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解．【小问1详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴∴，∴；【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，在和中，，∴，∵，，∴，∴平行四边形的周长为．20.如图，勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板p离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．【答案】【解析】【分析】设,则根据勾股定理计算即可．本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：根据题意，得四边形是矩形，故，又，，故，设,则．在中,由勾股定理得,即,解得．答：绳索的长度为．21.如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，结合，，得到即可证明四边形是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴∴，∴四边形是平行四边形．22.如图，菱形的周长为，．对角线，交于点．求：（1）这个菱形的对角线长；（2）菱形的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件易求的长，再由勾股定理可求出的长，进而可求对角线的长．（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．【小问1详解】在菱形中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴菱形的对角线长，．【小问2详解】菱形的面积为．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质并利用公式准确求出菱形的面积是解题的关键．23.我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形．（1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．方法1：________；方法2：________．根据以上信息，可以得到等式：________；（2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，，求图2中阴影部分的面积．（3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点，较大锐角的顶点为，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积．【答案】（1）；；（2）75（3）24【解析】【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．（1）运用等面积法计算即可；（2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可；（3）将风车周长表示出来，其中，，再结合勾股定理求解出a，最后计算面积即可．【小问1详解】解：，，∴．【小问2详解】解：，当，时，．【小问3详解】解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴．24.如图一，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．（1）求证：（提示：取的中点，连接）．（2）如图二所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．（3）如图三所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AM