第22章 函数（举一反三）全章题型归纳（解析版）

第二十二章函数（举一反三讲义）全章题型归纳【新教材人教版】TOC\o"1-3"\h\u【基础巩固】 1【题型1常量与变量的识别】 1【题型2函数的定义理解】 2【题型3自变量与函数的判断】 5【题型4求函数自变量的取值范围】 6【题型5函数的三种表示方法】 7【能力提升】 10【题型6函数图象的绘制】 10【题型7从函数图象获取信息】 14【题型8判断图象是否表示函数】 18【题型9根据实际情境选图象】 20【题型10函数值的计算】 23【思维拓展】 25【题型11实际问题中的取值范围】 25【题型12动点问题的函数图象】 28【题型13从表格数据分析变量关系】 32【题型14函数与几何图形面积的应用】 34【题型15新定义下的函数关系】 38【基础巩固】【题型1常量与变量的识别】【例1】（25-26六年级下·全国·课后作业）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和x分别是（

）A．常量，变量 B．变量，变量C．常量，常量 D．变量，常量【答案】A【分析】此题考查了常量和变量的定义，在一个变化过程中变化的量是变量，始终不变的量是常量．根据常量，变量的定义解法即可．【详解】解：由题意得，y=5x，变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，x是变量，故选：A．【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______．【答案】x，y10【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解．【详解】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，由题意可知，书的总数10是固定不变的，所以常量为10，第一个抽屉放入的本数x和第二个抽屉放入的本数y会随着放置情况的不同而变化，所以变量为x，y．【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______．【答案】3【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数．【详解】解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变．②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量．③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量．④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量．综上，变量共有3个，故答案为3个．【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=12gt2（其中g【答案】h，t12，【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量．【详解】解：物体下落过程中，运动距离h随下落时间t的变化而变化，因此h与t是数值发生变化的量，属于变量，12和题目给定的g=9.8【题型2函数的定义理解】【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（

）A．y=-32x B．y=1x C【答案】D【分析】根据函数的定义判断，若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则不是，据此分析即可．【详解】解：A选项：y=-3B选项：y=1C选项：y=xD选项：|y|=x，当x>0时，对于一个确定的x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，故符合题意．故选：D．【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应即可，正确理解函数的概念是解题的关键．【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，y是x的函数；B、对给定的x的值，有几个y值与之对应，y不是x的函数；C、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，y是x的函数；D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，y是x的函数；故选：B．【变式2-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．给出下列四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中正确的是____________（填序号）．【答案】①④【分析】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念．由函数的概念求解即可．【详解】解：①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；故答案为：①④．【变式2-3】（25-26八年级下·全国·周测）有下列关于x和y的式子：①y=x2；②y= 2x+1；③y2=2x（x ≥0）；④y=±2x【答案】①②【分析】本题考查了函数的定义，解题关键是抓住“对于x的每一个确定值，y有唯一确定值对应”这一核心条件判断关系．根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，据此逐一判断每个式子是否满足函数关系．【详解】解：①y=x2：对于x的每一个值，②y= 2x+1：对于x的每一个值，③y2=2x（x ≥0）：当④y=±2x（x ≥0）：当x因此，y是x的函数的是①②．故答案为：①②．【题型3自变量与函数的判断】【例3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）秋季黄山上的温度从山脚起每升高1km降低6℃，已知山脚的温度是18℃，上升高度xkm时温度为y℃，则y与x之间的函数解析式为__________，其中自变量为__________【答案】y=18-6xxyx【分析】本题考查了函数的概念及列函数解析式，理解每升高1km米降低6℃是解题的关键．根据每升高1km降低6℃，则上升的高度【详解】解：由题意，山脚温度为18°C，每升高1km降低6℃，上升高度为x则y与x的函数解析式为y=18-6x，其中x是自变量，y是x的函数．故答案为：y=18-6x，x，y，x．【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶250km，在这一过程中，________是变量，我们可以把________看成是________的函数，________【答案】时间和路程路程时间时间【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于在取值范围内，x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．【详解】解：一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶250km故答案为：时间和路程，路程，时间，时间．【变式3-2】（24-25八年级下·北京密云·期末）在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，当半径r为自变量时，______是【答案】Sr【分析】本题考查函数，在一个变化过程中，有两个变量x、y，当给x一个值时，y有唯一的一个值与之对应，则把y叫x的函数．掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念解答即可．【详解】解：公式S=πr2中，π则S是r的函数．故答案为：S；r．【变式3-3】向平静的水面投入一枚石子会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径r从3cm变成6cm时，圆形的面积S从________cm2变成________cm2．这一变化过程中________是自变量，________是关于自变量的函数．【答案】9π36π半径面积【分析】先列出在这一变化过程中两圆的面积公式即可求解．【详解】解：当r=3时，圆的面积为9π；当r=6时，圆的面积为36π；这一变化过程中半径是自变量，面积是半径的函数．故答案是：9π，36π，半径，面积．【点睛】考查了函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f（x）；变量：在一程序变化过程中随时可以变化的量．常量：在一程序变化过程中此量的数值始终是不变的．【题型4求函数自变量的取值范围】【例4】函数y=12-3x中，自变量x的取值范围是【答案】x<【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得2-3x>0，求出解集即可．【详解】解：∵函数y=1∴分母2-3x≠0，且被开方数2-3x≥0，但分母不为零，故2-3x>0即2-3x>0，解得x<2故答案为：x<2【变式4-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数y=xx+1中，自变量x的取值范围是（A．x≠1 B．x≠0 C．x≠-1 D．x≠0且x≠-1【答案】C【分析】本题考查分式自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为0）列不等式求解即可．【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0，∴x+1≠0，解得：x≠-1，∴自变量x的取值范围是x≠-1．故选：C．【变式4-2】（25-26九年级上·四川眉山·期末）函数y=x+1中，自变量xA．x≠-1 B．x>-1 C．x≥-1 D．x≤-1【答案】C【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式的有意义的条件．根据二次根式的有意义的条件，被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥-1，故选：C．【变式4-3】（25-26九年级上·山东聊城·期末）在函数y=2+xx中，自变量x的取值范围是（A．x≥-2 B．x≠0C．x≥-2且x≠0 D．x>-2且x≠0【答案】C【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不等于0，二次根式的被开方数大于等于0，即可求解．【详解】解：根据题意，可得2+x≥0x≠0解得x≥-2且x≠0，∴自变量x的取值范围是x≥-2且x≠0．故选：C．【题型5函数的三种表示方法】【例5】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）下面说法中正确的是（

）A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况D．表达式法不能明显地表示对应规律【答案】C【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用．【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴A错误，不符合题意；B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴B错误，不符合题意；C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴C正确，符合题意；D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴D错误，不符合题意；故选：C．【变式5-1】酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（

）酒精浓度01510152010s33302418150A．酒精浓度越高，水蚤心率越低B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度C．酒精浓度达到20%时水蚤10sD．酗酒对人体的心跳可能有不利影响【答案】B【分析】本题考查的是利用表格表示函数，理解表格信息是解本题的关键，根据表格信息结合函数定义可得答案；【详解】解：由表格信息可得：酒精浓度越高，水蚤心率越低，正确，A不符合题意；自变量是酒精溶液浓度，因变量是水蚤心率，原来说法错误，B符合题意；酒精浓度达到20%时水蚤10s内心跳次数为0，正确，酗酒对人体的心跳可能有不利影响，正确，D不符合题意；故选B【变式5-2】（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图1所示，若将n个这种型号的杯子按图2中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为H．则H与n满足的函数关系可能是（

）A．H=0.3n B．H=100.3n C．H=10-0.3n D【答案】D【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键．根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得H=h+0.3n【详解】解：根据题意，1个杯子的高h=10，1个杯子沿高为0.3，∴n个杯子叠在一起的总高度为H=10+0.3n，故选：D．【变式5-3】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是()A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是187千米/【答案】C【详解】试题解析：A、由纵坐标看出，体育场离张强家2.5千米，故A正确；B、由横坐标看出，30-15=15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故B正确；C、由纵坐标看出，2.5-1.5=1千米，体育场离早餐店1千米，故C错误；D、由纵坐标看出早餐店离家1.5千米，由横坐标看出从早餐店回家用了100-65=35分钟=712小时，1.5÷712=32×故选C．【点睛】本题图中折线反映的是张强离家的距离y与时间x之间的关系，根据横轴和纵轴上的数据不难解答有关问题．需注意理解时间增多，路程没有变化的函数图象是与x轴平行的一段线段．平均速度=总路程÷总时间．【能力提升】【题型6函数图象的绘制】【例6】在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式、画函数图象、利用函数图象研究函数性质”的学习过程下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：x…0.5123456…y…2.522.53.34.35.26.2…(1)当y＝2.5时，x＝．(2)根据表中数值描点（x，y）并画出函数图象；(3)观察画出的函数图象，写出这个函数的一条性质．【答案】(1)0.5或2；(2)作图见解析；(3)由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．【分析】（1）根据表格可知，当y＝2.5时，x＝0.5或2；（2）在给出坐标系中，先描点，再连线；（3）根据函数图象写出一条性质，如当x＞1时，y随x的增大而增大．【详解】（1）解：由表格可知，当x＝0.5或2时，y＝2.5；故答案为：0.5或2；（2）解：在给出坐标系中，先描点，再连线，如下图所示：（3）解：由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．【点睛】本题考查了函数的表示方法，求函数自变量的值，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键．【变式6-1】已知一根长为20m的铁丝围成一个长方形，若宽为x，长为y.（1）写出y关于x的函数解析式；（2）写出自变量x的取值范围；（3）求当x=4时所对应的函数值；（4）画出所对应的函数图像.【答案】（1）y=-x+10；（2）0<x≤5；（3）6；（4）见解析.【分析】（1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解；（2）根据长方形的宽不小于长列式求出x的最大值，从而得解；（3）把x的值代入函数关系式计算即可得解；（4）利用两点法作出函数图象即可．【详解】（1）根据周长公式得：2x+y=20，整理得：（2）∵宽为x，长为y，∴x≤y.∴x≤-x+10，解得x≤5，∴0<x≤5；（3）当x=4时，y=-4+10=6；（4）当x=1时，y=-1+10=9，当x=4时，y=-4+10=6，所以函数图象经过点（1，9），（4，6），作图为：【点睛】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，利用两点法作函数图象，难度较小．【变式6-2】请根据函数相关知识，对函数y=x-2①列表；②描点；③连线x…-2-10123456…y…432101m34…(1)表格中：m=______；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出该函数图像；

(3)根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①__________________________________；②__________________________________；【答案】(1)2(2)图形见解析(3)①当x≥2时，y随x增大而增大；②当x=2时，y取得最小值【分析】本题主要考查绝对值函数以的性质，（1）将x=4代入函数y=x-2求得m（2）采用描点、连线的方法画函数图像；（3）根据函数图像写出其具有的函数性质；【详解】（1）解：将x=4代入y=x-2，得m=（2）函数图像如图所示．

（3）①当x≥2时，y随x增大而增大；②当x=2时，y取得最小值．【变式6-3】在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：已知y是x的函数，下表是y与x的几组对应值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2012345…y…1.9691.9381.8751.7510﹣2﹣1.502.5…小孙同学根据学习函数的经验，利用上述表格反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x＝﹣1时，对应的函数值y的为；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：．【答案】（1）详见解析；（2）①1.35（答案不唯一）；②x＜1或x＞4；③函数有最小值（答案不唯一）．【分析】（1）通过描点法画出函数图象；（2）直接从图象中读取相关数值即可．【详解】（1）通过描点画出如下函数图象：（2）答案为近似值，不唯一，①当x＝﹣1时，从图象可以看出：y＝1.35；②函数值y＞0，则x＜1或x＞4；③函数有最小值（答案不唯一）；【点睛】本题主要考查利用表格中的数据绘制函数的图象，并根据图象及性质进行探究，注意数形结合的运用.【题型7从函数图象获取信息】【例7】A、B两地相距350km，甲骑摩托车从A地匀速驶向B地．当甲行驶1小时途经C地时，一辆货车刚好从C地出发匀速驶向B地，当货车到达B地后立即掉头以原速匀速驶向A地．如图表示两车与B地的距离ykm和甲出发的时间xhA．甲行驶的速度为80B．货车行驶的速度为100C．甲行驶2.7小时时货车到达B地D．货车返回途中与甲相遇后又经过38h甲到【答案】C【分析】根据函数图象结合题意，可知AC两地的距离为350-270=80km，此时甲行驶了1小时，进而求得甲的速度；根据总路程除以速度即可求得甲行驶到B地所需要的时间，根据货车行驶的时间和路程结合图象可得第4小时时货车与甲相遇，据此判断D选项，求得相遇时，甲距离B【详解】解：AC两地的距离为350-270=80km80÷1=80km/h根据货车行驶的时间和路程结合图象可得第4小时时货车与甲相遇，则358即货车返回途中与甲相遇后又经过38h甲到故D选项正确，不符合题意；∵相遇时为第4小时，此时甲行驶了4×80=320km货车行驶了270+350-320=300则货车的速度为300÷(4-1)=100km/h，故B则货车到达B地所需的时间为270÷100=2.7h即第2.7+1=3.7小时，故甲行驶3.7小时时货车到达B地，故C选项不正确，符合题意．【变式7-1】（2026·河南平顶山·一模）兰考葡萄酒依托黄河故道沙质土与适宜气候，以白羽、白丰等本地葡萄为原料，经低温发酵等工艺制成，酒液透亮、果香清新、酸甜适口，曾获部省级优质产品奖．某社会实践小组去兰考某葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法错误的是（

）A．在发酵前期的0~96hB．在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖C．在发酵后期，葡萄糖浓度的减少助长了酵母菌的生长繁殖D．随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感【答案】C【分析】理解函数图象中的数据含义及变化趋势，再逐一分析判断即可．【详解】A、在发酵前期的0~96h内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加，故选项AB、在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖，故选项B中的说法正确，不符合题意；C、在发酵后期，葡萄糖浓度的减少抑制了酵母菌的生长繁殖，故选项C中的说法错误，符合题意；D、随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐降低，增加了葡萄酒的口感，故选项D中的说法正确，不符合题意．【变式7-2】郧阳中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在400米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中x表示甲的跑步时间，y表示甲乙之间的距离，现有以下4种说法，正确的有（

）①甲到达终点时，乙还有80米未跑；②甲用时5'③甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次；④出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时长.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据函数图象的意义，相遇的意义，逐一判定求解即可．【详解】解：由图象可得，甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次，故③正确，根据图象，可知OA<故④错误，根据题意，得甲到达终点时，乙还有2×400+80=880米未跑，故选项①错误，根据题意，得甲用时5'故选项②正确，综上，正确的有2个．【变式7-3】（25-26八年级上·广东河源·期末）喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（

）A．a=1200 B．b=1500 C．c=45 D．d=【答案】C【分析】A、分别根据速度=路程÷时间求出两人的速度，当x=40时，计算两人的路程之差即可；B、当x=50时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可；C、二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可；D、当x=d时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可．【详解】解：大龙的速度为600040=150米/分，小磊的速度为60005040×150-120∴a=1200，故A正确；150×50-40∴b=1500，故B正确；根据题意，得150+120c=6000×2解得c=4009，故根据题意，得150+120d=6000×4解得d=8009，故【题型8判断图象是否表示函数】【例8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键．设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此即可解答．【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，不符合题意；B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，符合题意；C．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，不符合题意；D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，不符合题意．故选：B．【变式8-1】如图是济南市8月2日的气温随时间变化的图象，根据图象可知：在这一天中，气温T(℃)____(填“是”或“不是”)时间t(时)的函数．【答案】是【分析】根据函数的定义进行判断即可．【详解】解：由图可知，气温T随着时间t的变化而变化，对于每一个t都有唯一确定的T与之对应，所以气温T(℃)是时间t(时)的函数．故答案为：是．【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．注意，对于每一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应．【变式8-2】老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x，其中y一定是x的函数的是________（填写所有正确的序号）【答案】④【分析】根据函数的定义判断即可．【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，∴①②③不符合定义，④符合定义，故答案为：④．【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的定义是解题的关键．【变式8-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示y是x的函数的是_____．（填序号）【答案】③④⑤【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，．故答案为：③④⑤．【题型9根据实际情境选图象】【例9】往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（）A． B．C． D．E．【答案】B【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键．根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案．【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项B符合该特点，故选：B．【变式9-1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（

）①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系A．①②④③ B．①③④② C．④③①② D．④②①③【答案】B【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键．【详解】解：第一个图符合：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；第二个图符合：③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；第三个图符合：④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系；第四个图符合：②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；故选：B．【变式9-2】如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解；【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢；因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项C图所示的先陡后缓的折线关系；故选：C．【变式9-3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画圆柱体水槽水面的高度h（厘米）与注水时间t（分）的关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是从图象中获取信息，根据由放入铁球后水槽内部空间的结构的变化可得答案．【详解】解：将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止．由放入铁球后水槽内部空间的结构可得水的上升高度先慢，再快，再慢，当水覆盖铁球后，匀速上升；∴C符合题意．故选：C．【题型10函数值的计算】【例10】（25-26八年级上·山西太原·期末）数学小组李华同学画某一次函数图象时，发现描出的点不在一条直线上，检查所列表格发现其中两个函数值算错了，下表算错的两个函数值是（

）x-10123y631-2-3A．6，3 B．3，1 C．6，-2 D．-2，-3【答案】C【分析】根据一次函数定义，正确点满足y=kx+b，利用已知点求出解析式后，验证所有点即可找出错误的函数值．【详解】解：设该一次函数的解析式为y=kx+b，∵只有两个函数值错误，∴五个点中存在三个点满足解析式，取点(1,1)和(3,-3)代入解析式，得{解得k=-2，b=3，∴一次函数解析式为y=-2x+3，依次验证各点：当x=-1时，y=-2×-1∴6错误；当x=0时，y=-2×0+3=3，计算正确；当x=1时，y=-2×1+3=1，计算正确；当x=2时，y=-2×2+3=-1≠-2，∴-2错误；当x=3时，y=-2×3+3=-3，计算正确，恰好两个错误，符合题目要求，因此算错的两个函数值为6和-2.【变式10-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数y=x+3x≥-12xx<-1，则当函数值y为8【答案】5或-4【分析】本题考查了求自变量的值，将y=8代入分段函数的两个分支，分别求解x的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：当x≥-1时，函数为y=x+3，代入y=8可得x+3=8，解得：x=5；当x<-1时，函数为y=2x，代入y=8可得2解得：x=4（不符合题意，舍去）或x=-4；综上所述，自变量x的值为5或-4，故答案为：5或-4．【变式10-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）按如图所示的程序计算y的值，若输入的x的值是-3，输出y的值为-7；若输入的x的值是5，输出y的值为___________．【答案】10【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断5与-2的大小，然后把5代入y=2x2，求出【解答】解：∵5∴y=2×(5∴输出的y的值为：10，故答案为：10．【变式10-3】同一温度的华氏度数y℉与摄氏度数x℃之间的函数关系是y=95x+32．如果某一温度的摄氏度数是【答案】77【分析】本题主要考查了求函数值．把x=25代入y=9【详解】解：当x=25时，y=9即它的华氏度数是77℉．故答案为：77【思维拓展】【题型11实际问题中的取值范围】【例11】周长为10cm的等腰三角形，腰长ycm与底边长xcm的函数关系为______【答案】y=-12【分析】本题考查了列函数解析式，求自变量的取值范围，根据底边长+两腰长=周长，建立等量关系，变形即可列出函数关系式，再根据三角形三边的关系即可求出自变量的范围，正确列出函数解析式是解题的关键．【详解】解：∵等腰三角形的周长为10cm∴2y+x=10，∴y=-1∵三角形两边之和大于第三边，∴2y>x，即2-解得x<5，又∵x>0，∴自变量范围为0<x<5，故答案为：y=-12x+5【变式11-1】（25-26八年级上·贵州·期末）某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与该摩托车行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示，则自变量x的取值范围是（

）A．0≤x≤10 B．0<x<10 C．0≤x≤500 D．0<x<500【答案】C【分析】本题考查了从函数图象获取信息．直接根据函数图象作答即可．【详解】解：由函数图形可知，自变量x的取值范围是0≤x≤500．故选：C．【变式11-2】某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是____________．【答案】75≤v≤80【分析】本题考查从函数图象获取信息，不等式组的实际应用，根据所给图象得出甲的速度，根据时间、路程、速度之间的关系列不等式组，即可求解．【详解】解：根据图象可得，甲的速度为：60÷1=60（千米/时），由题意，得12-9v≤解得75≤v≤80，故答案为：75≤v≤80．【变式11-3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小慧骑车从甲地到乙地，小聪骑车从乙地到甲地，小慧的速度小于小聪的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离ykm与小慧的行驶时间x请你根据图象进行探究：(1)点B的坐标表示的实际意义为__________．(2)小慧和小聪的速度分别是多少？(3)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)出发1小时后，两人相遇(2)小慧的速度为10km/(3)y=10x【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键．（1）点B的纵坐标为0，说明此时两人相遇，再根据横坐标为1可得两人相遇需要的时间为1小时，据此可得答案；（2）由函数图象可知，甲、乙两地的距离为30km，小慧到达目的地的时间为3h（3）由函数图象可知，点C的横坐标表示小聪到底目的地的时间，点C纵坐标表示此时两人的距离，求出小聪到达目的地的时间，进而求出点C的坐标，再列出对应的函数关系式即可．【详解】（1）解：由函数图象可知点B的坐标为1,0，故点B的坐标表示的实际意义为出发1小时后，两人相遇；（2）解：∵小慧的速度小于小聪的速度，∴小慧比小聪后到达目的地，由函数图象可知，甲、乙两地的距离为30km，小慧到达目的地的时间为3h∴小慧的速度为303由（1）可知，出发1小时后，两人相遇，∴两人的速度之和为301∴小聪的速度为30-10=20km答：小慧的速度为10km/h（3）解：由函数图象可知，点C的横坐标表示小聪到底目的地的时间，点C纵坐标表示此时两人的距离，∵3020∴点C的坐标为1.5,15，∴yCD∴线段CD所表示的y与x之间的函数表达式y=10x1.5≤x≤3【题型12动点问题的函数图象】【例12】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A为直角，动点P从点A出发，沿A→B→C→D匀速前进到点D，在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化而变化的过程可以用图象近似地表示成（A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，可证明AD⊥AB，AB⊥BC，分三个阶段：点P在AB上运动，S随t的增大而增大；点P在BC上运动，S保持不变；点P在CD上运动，S随t的增大而减小；根据AB<CD，可得点P在AB上的运动时间小于点P在CD上的运动时间，据此可得答案．【详解】解：∵∠A为直角，∴∠A=90°，∴AD⊥AB，∵AD∥∴AB⊥BC；当点P在AB上运动时，S=1∴当点P在AB上运动时，S随t的增大而增大；当点P在BC上运动时，S=1∴当点P在BC上运动时，S保持不变；当点P在CD上运动时，设点P到AD的距离为h，∴S=1∵h随t的增大而减小，S随h的减小而减小，∴当点P在CD上运动时，S随t的增大而减小，∵AB<CD，且点P匀速运动，∴点P在AB上的运动时间小于点P在CD上的运动时间，∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意，故选：B．【变式12-1】（2026·河南商丘·一模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，一动点P从点A出发，沿A→B→C的路径运动，过点P作PQ⊥ CA，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ-AQ=y，y随x变化的函数图象如图2所示，则BCA．5516 B．6115 C．42【答案】A【分析】结合函数图象，以及点的运动情况，推出AC的长，进而求出AB+BC，再结合勾股定理建立关于BC的方程求解，即可解题．【详解】解：由图知，当x=5时，PQ-AQ=y=0，即此时PQ=AQ=AC，且AB+BP=5，又运动到最后时，点P运动到点C，∠ACB=90°，则此时PQ=0，且PQ-AQ=-3，∴AC=AQ=3，结合前面条件可知，AB+BC=AB+BP+PQ=5+3=8，∴AB=8-BC，∵AC∴32解得BC=55【变式12-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，▱ABCD中，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则n=__________，▱ABCD的面积为___________．【答案】2210【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键．作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M6,6，N12,10，结合运动轨迹及运动图象得出【详解】解：如图所示，作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M6,6当点P从点A运动到点B时，对应于OM线段，∴AB=x=6，当点P从点B运动到点D时，对应于曲线MN，∴AB+BD=x=12，∴BD=6，当点P到点D时，对应于图中的点N，∴AD=AP=y=10，∴n=AB+BD+AD=12+10=22，在△ABD中，AB=BD=6，∴AE=DE=5，在Rt△ABEBE=A∴平行四边形的面积为：AD×BE=10×11故答案为：22，1011【变式12-3】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高CG=532．图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点．则点F【答案】9,3【分析】本题考查了动点问题的函数图象，先根据函数图象分析运动路程与边长的关系，再求出AP的最小值，即点F的纵坐标，最后利用勾股定理求出点F的横坐标，进而得出点F的坐标．【详解】解：当点P运动到点B处时，x=6，即AB=6，当点P运动到点C处时，x=11，即BC=5，如图，作AQ⊥BC，当点P运动到点Q处时，AP最短，∵S△ABC=1∴AQ=33∴点F纵坐标为33在Rt△ABQ中，A∴BQ=3，∴AB+BQ=6+3=9，∴点F的横坐标为9，∴点F坐标为9,33故答案为：9,33【题型13从表格数据分析变量关系】【例13】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系式是_____．燃烧时间x（时）0123剩余的高度y（厘米）20171411【答案】y=20-3x【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米，∴x小时燃烧了3x厘米，∵蜡烛总长为20厘米，∴剩余的高度y=总长度-燃烧的长度，即y=20-3x，故答案为：y=20-3x．【变式13-1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x=115时，y的值为（

）销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040A．85 B．75 C．65 D．55【答案】C【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可．【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件，由110到115售价增加5元，则销售量减少5件，∴当x=115时，y=70-5=65．故选：C．【变式13-2】某剧院观众的座位数按下列方式设置：排数（x）1234…座位数（y）30333639…根据表格中两个变量之间的关系，当x=8时y的值为（

）A．49 B．51 C．53 D．55【答案】B【分析】找出排数x与座位数y之间的变量关系，然后代入x=8即可求得y的值．【详解】解：当x＝1时，y＝30，当x＝2时，y＝30＋3，当x＝3时，y＝30＋3×2，当x＝4时，y＝30＋3×3，∴当x＝8时，y＝30＋3×7＝51，故选：B．【点睛】本题考查了函数的表示方法，通过例举，总结归纳出规律是解题的关键．【变式13-3】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：鸭的质量/kg0.511.522.533.54烤制时间/406080100120140160180若鸭的质量为3.7kg时，烤制时间为_____________min【答案】168【分析】本题考查了函数的表示方法，设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将x=3.7【详解】解：设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t由表格得，鸭的质量x每增加0.5千克，烤制时间t增加20分钟，∴t=40+40(x-0.5)，即：t=40x+20，当x=3.7时，t=40×3.7+20=168，故答案为：168．【题型14函数与几何图形面积的应用】【例14】如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2)如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与(3)当小正方形的边长由1cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积变小了多少？【答案】(1)自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积(2)y=100-4(3)由96cm2变为75cm2【分析】（1）根据自变量、因变量的意义去判断即可．（2）根据阴影面积=正方形的面积-4个小正方形的面积，列式计算即可．（3）按照已知自变量求函数值的思想，分别是求值，后作差即可．【详解】（1）因为小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．所以自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积．（2）因为根据阴影面积=正方形的面积-4个小正方形的面积，所以y=100-4x（3）因为y=100-4x当x=1时，y=100-4x当x=2.5时，y=100-4x所以面积减小了：96-75=21（cm2【点睛】本题考查了自变量、因变量的认识，求函数的表达式和计算函数的值，熟练掌握函数的意义，结合图形特点求函数表达式，依据表达式求函数值成为解题的关键．【变式14-1】如图，梯形ABCD上底的长是4，下底的长是x，高是6．（1）求梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式；（2）用表格表示当x从10变到16时（每次增加1），y的相应值；（3）x每增加1时，y如何变化？说明你的理由．【答案】（1）y=12（4+x）×6=12-3x；（2）表格见解析；（3）由上表可得：x每增加【分析】（1）利用梯形面积公式得出y与x之间的关系；（2）结合关系式列表计算得出相关数据；（3）利用（1）中关系式，进而得出x每增加1时，y的变化．【详解】解：（1）∵梯形ABCD上底的长是4，下底的长是x，高是6，∴梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式为：y=1（2）表格如下：x10111213141516y42454851545760（3）由上表可得：x每增加1时，y增加3，理由：y1=12+3x，y2y2-y1=15+3x-（12+3x）=+3【点睛】本题主要考查了函数关系式以及函数的变化，正确得出函数关系式是解题关键．【变式14-2】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB=8m，AD=5m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A