小学数学第六章　作业12　平面向量中的最值与范围问题

作业12平面向量中的最值与范围问题分值：80分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知向量m=(a-1，1)，n=(2-b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是A.[2，+∞) B.(0，+∞)C.[2，4) D.(2，4)2.已知向量a=(-2，2)，b=(5，k)，若|a+b|≤5，则实数k的取值范围为A.[-4，6] B.[-6，4]C.[-6，2] D.[-2，6]3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且AD=xAB+yAC，则1x+4A.3 B.4 C.5 D.94.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p=(sinA，1)，q=(1，-cosB)，则p与q的夹角是A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定5.设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，AP=λAB，若OP·AB≥PA·PB，则实数λ的取值范围是A.12，1C.12，1+6.若向量a，b，c的模均为1，且a·b=0，则|3a+4b-2c|的最大值为A.5+25 B.3 C.5 D.7二、多项选择题(共6分)7.已知向量a=(-2，1)，b=(1，t)，则下列说法正确的是A.若a∥b，则t的值为-2B.a+bC.若a+b=a-bD.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是-∞，-三、填空题(共5分)8.已知图中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM·PN的取值范围是.四、解答题(共39分)9.(12分)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a·(a+b)=2.求|a-λb|的最小值.10.(13分)如图，在△ABC中，BD=2DC.(1)若E是BD的中点，试用AB和AC表示AE；(5分)(2)已知G是AD上一点，且AG=2GD，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若AF=λAB，AH=μAC，其中λ，μ均为正实数，求λ+μ的最小值.(8分)11.(14分)已知向量a=cos3x2，sin3x2，(1)求a·b及|a+b|；(6分)(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-32，求λ的值.(8分

答案精析1.C2.C3.D4.A5.B[∵AP=λAB=(-λ，λ)，∴PB=(1-λ)AB=(λ-1，1-λ)，OP=OA+AP=(1-λ，λ)，又∵OP·AB≥PA·PB，∴(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)，∴2λ2-4λ+1≤0，解得1-22≤λ≤1+2又∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，∴满足条件的实数λ的取值范围是1-226.D[设OA=a，OB=b，OC=c，依题意a·b=0⇔a⊥b，而向量a，b，c的模均为1.以O为坐标原点，OA，OB分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，由于|c|=1，所以C点在单位圆上.由此可得A(1，0)，B(0，1)，C(cosα，sinα)，所以|3a+4b-2c|=|(3-2cosα，4-2sinα)|=(3-2cos=29-4(4sin=29-20sin(α其中tanφ=34所以当sin(α+φ)=-1时，|3a+4b-2c|取得最大值29+20=7.]7.BCD[选项A，因为a∥b，所以-2t=1×1，t=-12，故A选项B，a+b=(-1，t+1)，则a+b=(t当t=-1时取等号，故B正确；选项C，a-b=(-3，1-t)，则|a-b|=(t根据|a+b|=|a-b|，得(t+1)解得t=2，故C正确；选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b=t-2<0，且向量a，b不能反向共线，由A选项可知，当t=-12a=-2b，于是t<2且t≠-12所以t的取值范围是-∞,-12∪故D正确.]8.[2，3]9.解由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1，根据向量求模公式得|a-λb|=a=4λ2-2易知，当λ=14时，|a-λb|取得最小值310.解(1)因为BD=2DC，所以AD-AB=2(AC-AD)，所以AD=13AB+因为E是BD的中点，所以AE=12AB=12AB=23AB+(2)由AF=λAB，AH=μAC(λ，μ>0)得，AB=1λAF，AC=因为AG=2GD，AD=13AB+所以AG=23AD=49AC=29因为F，G，H三点共线，所以29λ+4则λ+μ=29λ+49=29+49+2μ9λ+4λ9当且仅当2μ9λ即μ=所以λ+μ的最小值为6+4211.解(1)a·b=cos3x2cos-sin3x2sinx2=cos|a+b|=cos=2+2=2+2cos2x=2co因为x∈0,π2，所以cosx≥所以|a+b|=2cosx.(2)由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx，即f(x)=2cos2x-1-4λcosx=2(cosx-λ)2-1-2λ2.因为x∈0,π2，所以0≤cosx①当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当co