（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第12讲 等比数列及其前n项和（解析版）

、第页第12讲等比数列及其前n项和知识点一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．知识点二．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②设与为等比数列，则也为等比数列．（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．当或时，为递增数列；当或时，为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列，公比为，前项和为，则：①等间距抽取为等比数列，公比为．②等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．【解题方法总结】（1）若，则．（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．（5）为等比数列，若，则成等比数列．（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若为正项等比数列，则为等差数列．（9）若为等差数列，则为等比数列．（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．题型一：等比数列的基本运算【例题1-1】在等比数列中，，，则等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【答案】D【解析】由题意，，在等比数列中，，，设公比为，，即，解得或，∴，当时，，当时，.故选：D.【例题1-2】已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由前3项的和为7，得前3项的积为8，得，即，则，代入，得，即，解得或，因为为递增的等比数列，所以，则，所以，故选：D．【变式1-1】在等比数列中，若，，则公比q应为（

）A． B． C． D．－2【答案】D【解析】因为，解得q＝－2.故选：D【变式1-2】设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.【变式1-3】已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故选：B.【解题方法总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：当时，；当时，．题型二：等比数列的判定与证明【例题2-1】已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.【变式2-1】数列的前和满足，(1)求的值及与的关系；(2)求证：是等比数列，并求出的通项公式.【解析】（1）因为，所以，又，所以，故当时，，得；（2）由（1）知，则有，由于，故，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.【变式2-2】已知数列满足．(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．【解析】（1）由题意得．又因为，所以．所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得．所以．所以.【解题方法总结】等比数列的判定方法定义法若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列中项公式法若数列中，且，则是等比数列通项公式法若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列前项和公式法若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列题型三：等比数列项的性质应用【例题3-1】已知等比数列的前n项和为，则__________.【答案】【解析】由题意可得，，，故有.故答案为：【例题3-2】若m，n是函数的两个不同零点，且m，n，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.【答案】【解析】由题可得，则成等比数列，得.又不妨设，则成等差数列，得.结合，可得，解得或（舍去），即.故答案为：【变式3-1】已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则______．【答案】16【解析】由题意得：，故，故，所以.故答案为：16【变式3-2】在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.【答案】5【解析】因为与是方程的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.【变式3-3】在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于_____________.【答案】27【解析】依题意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案为：【变式3-4】若数列是等比数列，且，则__________．【答案】4【解析】根据等比数列的性质，有，则，解得，所以．故答案为：4．【变式3-5】已知等比数列的首项为，且，则__________.【答案】【解析】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：.故答案为128.【解题方法总结】（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．题型四：等比数列前n项和的性质【例题4-1】已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为_______.【答案】40【解析】因为，，所以，，则等比数列的公比，所以，，也是等比数列，所以，，也是等比数列，所以，即，解得或，又，所以.故答案为：40.【例题4-2】已知等比数列的前项和为，若，，则______.【答案】510【解析】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，所以.故答案为：510.【变式4-1】已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．【答案】【解析】设公比为.当时，，则，此时有；当时，因为，，，所以，，所以，，所以，当时，有最小值为.综上所述，的最小值为.故答案为：.【变式4-2】已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______.【答案】600【解析】设等比数列的公比为因为等比数列的前n项和为，所以，，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则，由，，成等比数列，可得即，解得，故答案为：600【变式4-3】已知等比数列的前项和为，，，则___________.【答案】【解析】设等比数列的公比为q，由，得，故，所以.故答案为：.【变式4-4】已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______【答案】【解析】设等比数列的公比为.若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，，由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列，且公比为，所以，，，因此，.故答案为：.【解题方法总结】（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．①若共有项，则；②若共有项，．（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．题型五：求数列的通项【例题5-1】记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则通项为________．【答案】【解析】∵，∴，当时，，得，当时，，，两式作差得：，即，所以是以为公比，1为首项的等比数列，则，又不符合上式，所以.故答案为：.【变式5-1】已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_______．【答案】【解析】先求得时；再由可得时,两式作差可得,进而求解.当时,,解得；由,可知当时,,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【变式5-2】数列的前项和为，则数列的通项___________．【答案】【解析】当时，，两式相减得，所以当时，是以为首项，公比为的等比数列，所以，不满足上式，所以.考点：数列已知求.【解题方法总结】（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为题型六：奇偶项求和问题的讨论【例题6-1】已知数列满足，且(1)设，求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因为所以，，，所以．又因为，所以，所以．因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因为，所以，即，所以，所以，因为，，所以是一个增数列，因为，，所以满足题意的n的最小值是20．【例题6-2】已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和．【解析】（1）由，得所以数列为等差数列．所以，得．所以公差．所以．（2）当为奇数时，．当为偶数时．所以【变式6-1】记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.(1)求数列{}与数列{}的通项公式；(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为d，，即，，.，①，②所以①-②得，，.当时，，符合..（2），依题有：.记，则.记，则.所以.【解题方法总结】求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．题型七：等差数列与等比数列的综合应用【例题7-1】在等差数列中，．(1)求等差数列的通项公式；(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，由题知，则，解得．（2）设数列的通项公式为，则，，则．【变式7-1】公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若为等差数列的前项和，求使成立的的最大值.【解析】（1）因为，所以，设等差数列的公差为，由，则，解得，所以.（2）由可得，由

得又，所以的最大值为13.【变式7-2】设数列的前n项和为，，，.(1)证明：为等差数列；(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.【解析】（1）证明：因为时，，则，即，，·因为，·则①，所以②，则①②得，即·所以为等差数列.（2）由（1）可得的首项为，公差为，所以，所以，所以，则，记的前n项和为，则①，所以②，则①②得，所以，所以.·【解题方法总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．第12讲等比数列及其前n项和1．设等比数列的前项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.所以，解得.，，解得.故选：D2．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值为9；故选：C.3．在等比数列中，，，则（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【解析】因为，，所以，解得，则．故选：B4．已知公比不为1的等比数列满足，则（

）A．40 B．81 C．121 D．156【答案】C【解析】设公比为，由可得，，因为，所以，因为，解得，所以，所以.故选：C.5．数列{an}满足，，数列的前项积为，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，所以为常数，又，所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以，所以，故选：C．6．在等比数列中，，则（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【解析】由可得，又，故，则，解得，即.故选：D7．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，所以，得，解得，因为，所以，则，即，故，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：B.8．若数列为等比数列，则_______．【答案】4【解析】由题意得，，解得，，故.故答案为：49．设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.【答案】7【解析】由的公比为，所以，令，由于，所以成立的的最小值为7，