吉林省白城市三校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省白城市三校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由指数函数图像可知<1,由对数函数图像可知c<0,即可得到c<b<a,故选D.2.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为，与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：min），则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设盛水桶在转动过程中到水面的距离为，时间为.则旋转角度为，先建立坐标系，令转轮中心为坐标原点，水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向.由题意可得：是关于的周期函数，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系为：.令，解得：，即盛水筒第一次到达入水点所需的时间满足，且则，，故选项A、C错误；又因为，所以，故选项D正确；又因为所以，故选项B错误.故选：D.4.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.【答案】C〖祥解〗利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.【解析】由，得，则，由为锐角，则，又，，故，所以，由二倍角余弦公式得，则.又为锐角，所以，故.故选：C.5.正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和，可得上下底正三角形的高分别为，，由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，故如图甲所示，作截面，得到图乙，设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6，所以.故选：D．6.下列关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，故A正确，，故B错误，，故C错误，，故D错误.故选：A.7.某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（）A.130元 B.140元C.150元 D.160元【答案】D【解析】结合函数图像可知，当时，与之间是一次函数，设.当时，；当时，；则，解得，此时；所以当时，，故选：D.8.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令函数，则恒成立，所以是增函数.又，且，所以是奇函数.由，得，即所以，解得.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分）9.已知，，，，，那么（）A.B.若，则，C.若A是BD中点，则B，C两点重合D.若点B，C，D共线，则【答案】AC【解析】A选项，，A选项正确.B选项，若，则，故可取，B选项错误.C选项，若是的中点，则，即，所以，所以两点重合，C选项正确.D选项，由于三点共线，所以，，，则或，所以D选项错误.故选：AC.10.下列说法正确是（）A.；B.高台一中高一全体学生可以构成一个集合；C.集合有两个元素；D.小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.【答案】BC【解析】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误；对于B，根据集合定义知，高台一中高一全体学生可以构成一个集合，B正确；对于C，由于判别式，故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确；对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误，故选：BC11.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（）A.取得最大值时每月产量为台B.边际利润函数的表达式为C.利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值D.边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】对于A选项，，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，因为函数为减函数，则，C对；对于D选项，因为函数为减函数，说明随着产量增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________．【答案】【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，又对任意，都有，所以在上单调递增，所以可等价为，即，当时，不等式可化为，即，令，则，由于，无解；当时，不等式可化为，即，即，所以，解得．综上，关于的不等式的解集为．故答案为：.13.已知向量，，与共线，则_____________.【答案】【解析】，与共线，可得，解得，所以，所以.故答案为：.14.已知，则的值是______.【答案】或【解析】已知，所以展开可得，所以，故，所以，所以．故答案为：．四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知复数z满足：，求复数z的实部与虚部的和.解：设，则，∴，即，∴，解得，∴，即复数的实部与虚部的和是4.16.判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）若，，；（2），；（3）：两个角都是直角，：两个角不相等.解：（1）因为，并且，所以是的充要条件.（2），即或，，故，故是的必要不充分条件.（3）两个角都是直角，则这两个角相等，两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，即，故是的既不充分也不必要条件.17.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：不妨设，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四边形是菱形，，又，且平面平面平面．（2）解：在平面内，过点作的垂线，垂足为，平面平面，平面平面，平面，又四边形是菱形，，均为等边三角形，以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，由（1）平面，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即．令，可得，，平面与平面的夹角的余弦值为．18.如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.（1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线与平面所成的角的正切值.解：（1）由题意可得，所以底面圆面积，圆锥的高，所以圆锥的体积为.圆锥侧面展开图的半径为，弧长为底面圆周长圆锥的侧面积为.（2）取中点，连接，如下图所示：在中，中位线，易知平面可得平面，所以即为直线与平面所成的角，易知，又，所以，所以.所以直线与平面所成的角的正切值为.19.如图，在多面体中，四边形正方形，平面.（1）求证：（2）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存