上海市嘉定区2026届高三上学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市嘉定区2026届高三上学期一模数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则___________.【答案】【解析】因为集合，，所以.故答案为：.2.已知直线经过点、，则的倾斜角为___________.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，因为直线经过点、，则直线的斜率，则，可得，所以直线的倾斜角为.故答案为：.3.已知复数（为虚数单位），则_________.【答案】1【解析】因为复数，所以.故答案为：1.4.双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】∵由题可知∴∴离心率故答案为：.5.已知空间向量，，，且，则_________.【答案】【解析】，，，，，，，，.故答案为：.6.在的二项展开式中，各项系数的和是___________.【答案】【解析】令，则，则各项系数的和为.故答案为：.7.圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________．【答案】【解析】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故，则.故答案为：.8.两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______.【答案】【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，，所以.故答案为：.9.已知数列满足，且，则________.【答案】【解析】对的两边取倒数得，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以数列的通项公式为，所以数列的通项公式为，所以．故答案为：．10.已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为___________.【答案】【解析】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设，所以，所以当时，取最小值，此时.故答案为：.11.已知，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】令，等价于，可得，解得，可知函数的定义域为，因为，即，可知函数为奇函数，且，因为在内单调递增，则在内单调递减，且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减，若，则，可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.12.、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为________.【答案】【解析】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位，当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况；当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位，此时排列可以是，，共种情况；当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位，此时排列可以是，共种情况；当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位，此时排列可以是，共种情况；由上可知，当排在第一位时，共有种情况，同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件，综上所述，共有种排列满足条件，故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.如果，那么下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A：由得，错误；对于B：由，则有，即，正确；对于C：由得，则根据不等式的性质有，即，由可得，错误；对于D：由得，则，即，错误.故选：B.14.函数是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】，所以函数为奇函数，最小正周期.故选：C.15.若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，得，在同一直角坐标系内作出函数，的图像，则分别是函数，的图像与直线交点的纵坐标，设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图像得当时，，当时，，当时，，所以ABC是可能的，D不可能.故选：D.16.数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（）A.对任意正整数，总存在正整数，使得B.数列一定是等差数列C.存在公比为正整数的等比数列满足条件D.对任意正整数，总存在正整数、，使得【答案】D【解析】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误；选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误；选项C：设等比数列的公比为，首项为，则，当时，，，则不恒为0，不符合题意；当正整数时，，，若，则，由于正整数，则，即…*，由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立；故C错误；选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得，且存在正整数使得，则符合题意；当时，存在正整数使得，取，则符合题意；故D正确.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm；女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方差为60，其频率分布直方图如下：（1）求该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数；（2）试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；（结果精确到0.1cm）（3）若一组数据落在（是平均数，是标准差）内的频率不小于92%，则称这组数据满足“常态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图可知，身高在的频率为，，所以该66名学生中身高在（单位：cm）内的人数为人.（2）这66名高一年级学生身高平均数为，因为该样本是按照分层随机抽样的方法抽取的，所以估计校高一年级全体学生身高的平均数为.（3）由（2）知，所以约为，数据落在内的频率为，因为，所以数据落在内的频率不小于，所以这66个身高数据满足“常态”.18.如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上.（1）如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小；（2）证明：平面平面（1）解：连接，如图.由题可知，平面，平面，则，且即为直线与平面所成角，即.由，为边的中线，可得.而，可得，.而即为直线与平面所成角，且，则，可得直线与平面所成角为.（2）证明：由，，，平面，故平面，而平面，则平面平面19.已知.（1）若，求函数的单调区间.（2）若在上存在零点，求实数的最大值.解：（1）由题设，则，当或，即在上单调递增，当，即在上单调递减，所以的单调增区间为，单调减区间为；（2）在上，令，所以在上有解，即与在上有交点，由且，所以，，所以在上单调递增，在上单调递减，当或，有，且，所以，故最大的为.20.如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为.（1）若点在上，且，求点的坐标；（2）若是上的任意一点，求的最小值；（3）过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.（1）解：由题设，令，则，即，所以，故或；（2）解：若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知，所以，当且仅当三点共线时取等号，又抛物线的准线时，最小为，所以的最小值为；（3）证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，，而，则过的切线斜率为，对应切线为，即，同理过的切线为，即，联立，可得，整理得，由题意，则，，联立，得，且，所以，则，，显然点在直线，即上，得证.21.图1为转角过道的地面平面示意图.该过道由两条直道连接形成转角，由水平平坦的地面与垂直于地面的墙面共同围成，两端延伸至足够远处，且高度充足.其中，、构成地面上过道的一侧边界，；地面上过道的另一侧边界，则分别与、平行，且交于点.过道两侧平行墙面之间的距离均为3米.0（1）如图2，在地面有一圆，该圆与、均相切，且过点.求此圆的半径；（2）如图3，有一根长度为米的无粗细木棒紧贴地面，端点沿移动，另一端点沿移动.当木棒触碰到点时，（弧度），求关于的函数关系及的最小值；（3）如图4，某长方体家具的底面为长方形，其宽为1米，长为10米（因过道高度足够，无需考虑家具高度）.现将底面紧贴地面移动，判断该家具能否顺利通过此转角过道，并说明理由.解：（1）连接，设圆心为