上海市松江区2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市松江区2026届高三上学期期末试题高三数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则________．【答案】【解析】由题意，集合，，所以.故答案为：.2.抛物线的焦点到其准线的距离为________．【答案】4【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以所求距离为.故答案为：4.3.不等式的解集为________．【答案】【解析】因为，所以，即，可得，解得.故答案为：.4.复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________．【答案】【解析】，复数在复平面内对应点的坐标为.故答案为：.5.某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为________．【答案】【解析】由题意得得分数据分别为，则平均数为.故答案为：.6.已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是_________.【答案】10【解析】二项式的展开式的二项式系数之和为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数是.故答案为：.7.比较两数的大小：________．【答案】【解析】设函数，由，令，解得：当，当，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，即，即，所以，因为函数在单调递增，所以，故答案为：.8.设，若，则的值为________．【答案】2【解析】因为，则，可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的值为2.故答案为：2.9.已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________．【答案】【解析】由两个非零向量、相互垂直，得，而，则，，因此，解得，经验证符合题意，所以实数k的值为.故答案为：.10.将3名男生和3名女生排成一排，若从左边第一个学生开始依次往右数，无论数到几人，男生人数都大于或等于女生人数，则有________种不同的排法．（结果用数值表示）【答案】【解析】由题可知，从左边开始第一个学生为男生有种安排方法：①若第二位为男生：第三位为男生时的方法数为种，第三位为女生时第四位为男生时有种，第四位为女生时种，综上，第二位为男生的方法总数为；②若第二位为女生：第三位必为男生，则第四位为男生时有种，第四位为女生时种，综上，第二位为女生的方法总数为；根据分类分步计数原理可得总方法数为种不同的排法．故答案为：.11.某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为________．（结果精确到）【答案】.【解析】如图，在矩形中，设，，，则，圆的半径m，因为，，即，当且仅当时，等号成立，可得，即，解得，所以矩形花园占地面积的最小值为.故答案为：.12.在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________．【答案】【解析】如下图：过作于，连接，因为，所以，，在中，由余弦定理得：，则，于是，故，又平面，所以平面，故此三棱锥的体积为.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如图所示：满足，，且，但是，所以可知是，，共面的不充分条件；当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交，又因为，，所以必然有，即是，，共面的必要条件，综上可知是，，共面的必要不充分条件.故选：B.14.下列函数中，对任意的时，均有的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增.对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意；对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意；对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意；对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意.故选：C.15.已知函数其表达式为，，函数其表达式为，若对任意，都有，则方程的解的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因为对任意，都有，令，则有，解得，从而得；令，则有，所以，即，所以对任意恒成立，所以，所以，所以当时，，又因为，所以当时，方程无解；所以，所以的值域为，当时，，此时方程无解；作出和的部分图象，如图所示：当时，令，解得或，此时方程有2个解.由此可得两函数图象有7个交点，即方程有7个解.故选：B.16.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论：①当时，；②的最大值为（）A.①正确，②错误 B.①②都正确C.①错误，②正确 D.①②都错误【答案】B【解析】〖祥解〗结论①：，BC边上的高等于，.在中，，又，所以，即，解得，因此，.当封闭区域内两点位于在同一半圆上时，以在上任取两点，为例，连接，则，又，所以，当封闭区域内两点位于在不同半圆上时，以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，，由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号，综上，，所以，故结论①正确.结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，.由三角形面积公式可得，所以，由余弦定理可得，即，所以.，即，当且仅当时取等号.由①知，，将，代入可得，当且仅当，，，四点共线，时取等号，所以，故结论②正确.故选：B.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记．（1）求函数的表达式；（2）若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和．解：（1）由题意，函数（、，）的周期为，所以，即，解得，又函数在时取到最大值，所以，解得，，又，所以当时，，所以函数的表达式为；（2）由（1）知，函数的表达式为，所以，，又数列为等差数列，则，解得，，所以，又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列，所以数列的前项和.18.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．（1）证明：取中点，中点，连接，.因为为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.平面，所以，又底面是直角梯形，，所以.又分别为，中点，所以，所以.所以两两垂直.故以为原点，建立如图空间直角坐标系，由，设，，，.所以，.因为.所以，所以.（2）解：由（1）得，，，.设平面的一个法向量为，则，令，可得.所以点到平面的距离.19.在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9．（1）求这组数据的极差和中位数；（2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率；（3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由．解：（1）将题中数据按从小到大的排序排列得：3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4．故极差为；中位数为.（2）因为长发球回合数，短发球回合数，所以从10个中随机抽取3个，至少有2个是长发球回合的概率为：；（3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为，三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为，则，因为，所以，即，所以一局定胜负对甲更有利.20.已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足．（1）求该椭圆的离心率；（2）若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率；（3）设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围．解：（1）设，则根据椭圆性质得，而，所以有，即，因此椭圆的离心率为.（2）若，因为，所以，且，以原点为圆心，为半径的圆的方程为，设点，线段的中点，则，消化简可得，解得或，因为，所以，计算得，点，所以直线的斜率为；（3）由（1）可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，所以.因为，所以，.由与相似，所以令，则，从而，即的取值范围是.21.已知函数，正常数，记．（1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）若函数既存在极