四川省南充市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省南充市2025-2026学年高二上学期期末考试试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.样本数据1，1，3，5，7的中位数是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】共个数，中位数是第个数，即中位数是.故选：B.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直线得出直线斜率为：，设直线的倾斜角为，所以，故选：C.3.已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由双曲线方程知，双曲线对应参数，则渐近线为.故选：C.4.已知数列的前项和公式为，则（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】A【解析】当时，，当时，由，①有，②①减②得：，即，当时，满足，所以，所以，故选：A.5.已知直线，则的充要条件是（）A. B. C. D.或2【答案】B【解析】由，则，由，，解得：.故选：B.6.如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在平行六面体中，，由为平行四边形，与交于点，所以为与的中点，所以，故选：D.7.若直线被圆截得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】圆可化为，则圆圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又截得的弦长为，所以，解得，即，，由题意知，圆半径，因为，，，则，所以圆与圆的位置关系是相交.故选：C.8.已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，由为等腰三角形，且，得，过作垂直轴于，如图所示，则在中，，故，，所以，即，代入直线的方程，得，即，所以所求的椭圆离心率为.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.甲、乙两人各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子，正四面体骰子的面上分别标记数字1，2，3，4，分别观察骰子底面上的数字，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得骰子底面数字1”的概率为B.事件“甲投得骰子底面数字奇数”与事件“甲投得骰子底面数字是偶数”是对立事件C.事件“甲投得骰子底面数字1”与事件“乙投得骰子底面数字2”是互斥事件D.事件“甲投得骰子底面数字4”与事件“乙投得骰子底面数字4”是相互独立事件【答案】ABD【解析】对于A：正四面体骰子质地均匀，每个面朝上（底面数字）的概率相等，均为，故甲投得数字1的概率为，A正确；对于B：“甲投得奇数”与“甲投得偶数”的并集为所有可能结果（全集），交集为空集，即二者不能同时发生，且必有一个发生，因此是对立事件，B正确；对于C：互斥事件要求不能同时发生，但甲投得1与乙投得2是两个独立事件，可以同时发生，故不是互斥事件，C错误；对于D：相互独立事件的定义是,甲投得的概率为，乙投得的概率也为，且甲乙都投得4的概率为，所以，符合独立事件定义，D正确.故选：ABD10.如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A.正四棱柱的外接球表面积为B.三棱锥的体积为定值C.当为中点时，直线不垂直于平面D.平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线【答案】BCD【解析】正四棱柱的外接球的直径为体对角线，则体对角线长度，故正四棱柱的外接球半径为，表面积，A选项错误；由题可知三棱锥，的面积为定值，点为线段上动点，平面，又为正四棱柱，则平面到平面的距离恒为，即点到平面的距离恒为，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；如图建系以为原点，方向建立空间坐标系，则，，，为中点，故，，，设平面的法向量为，则，即，两式上下相加得：，取，则，，平面的法向量为，，则为中点时，直线不垂直平面，C选项正确；设平面内动点，到的距离为，在平面上，，则所在的直线斜率，则所在的直线方程为，整理得：，点到所在直线的距离，，两边同时平方得：，化简整理得：，令，则方程化为，满足抛物线定义，D选项正确.故选：BCD.11.已知抛物线：焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（）A.点的坐标为B.过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线C.若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为D.过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为【答案】ABD【解析】如图：易得，设直线的方程为，，.将直线与抛物线联立，化简整理得，则，所以，又，所以，又为公共点，所以三点共线，故B正确；设抛物线上的点到直线距离为则，令，，因为，所以，所以，所以，当时，取得最小值，又在时单调递减，故时取得最小值.故C错误；设，则抛物线在处的切线为：，化简得，同理抛物线在处的切线为，又点在两切线上，故，，所以直线的方程为：，即.点到直线的距离为：，令，则令，得.当时，；当时，，故时取得最大值：，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，且，则实数___________．【答案】2【解析】由，所以，，又，所以，即，解得：，故答案为：2.13.圆关于直线对称的圆的方程为___________．【答案】【解析】由的圆心，半径为，设关于直线对称的点为，则，故对称点为，即所求圆的圆心为，由题知圆关于直线对称后圆的半径仍然为1，故所求圆的方程为：，故答案为：.14.如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________．【答案】或【解析】建立以B为原点的空间直角坐标系，以BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直于平面ABCD的直线为z轴，由正方形边长，得设，则，当时，取得最小值，此时,，设平面的一个法向量为,，则，令，则，故，点到平面的距离为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知的三个顶点．（1）求边上的高所在直线的方程：（2）若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程．【答案】（1）（2）解：（1）因为，所以，所以边上的高所在直线的斜率为，又，所以边上的高所在直线的方程为，即；（2）因为，且点是线段的中点，所以，即，又，所以，又因为直线经过点且平行于直线，所以，所以直线的方程为，即．16.已知双曲线的两个焦点坐标分别是，且经过点（1）求双曲线的标准方程；（2）过焦点且斜率为2的直线交双曲线于两点，求的周长．解：（1）因为，，，所以，，所以，所以，又，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）由题意知直线方程为，联立，得，解得或，所以，，所以的周长为.17.某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这100名学生成绩的第25百分位数；（3）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率．解：（1）由已知可得，解得；（2）由于第一组的频率为，前两组的频率之和为，所以第25百分位数，则，得，故这100名学生成绩的第25百分位数为分；（3）由（1）可知，与这两组人数之比为，故这两组中所抽取的人数分别为，记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，则从中任取人的所有可能结果为、、、、、、、、、，共种.其中恰有人成绩在为、、、、、，共种.故所求概率为.18.如图，在边长为3的菱形中，，将沿直线翻折成，连接和．（1）求证：平面；（2）判断线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值．（1）证明：因为四边形为边长为3的菱形，且，即得，由余弦定理得，所以，所以，即，平面，所以平面；（2）解：因为平面，平面，所以，过E点作垂直于线为z轴，则以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，因为，所以，所以，所以，所以线段的长为定值；（3）解：由（2）建系得出，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.设平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，所以，当且仅当即时，取得最小值.19.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为．求证：；（3）如图，设椭圆的左右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，点满足，直线与交于点，设与的面积分别为，求的取值范围．（1）解：因为椭圆经过点，所以，①又离心率为，则，②在椭圆中有：，③联立①②③解得：，所以椭圆的方程为：.（2）证明：如图所示：设，由在椭圆上，则，两式相减得：，即，①因为线段的中点为，所以，②又直线的斜率为：，③将②③代入①化简得：，因