甘肃省兰州市八校2025-2026学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省兰州市八校2025-2026学年高二上学期期末联考试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.已知等差数列满足，则等于（）A.9 B.6 C.3 D.2【答案】C【解析】由等差数列可知：，故选：C.2.已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】直线l倾斜角为60°，则直线l的斜率为，故直线l的方程为，令得，故直线l的纵截距为.故选：D.3.抛物线的焦点到点的距离为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，所以所求距离为.故选：A.4.若直线和互相垂直，则a的值是（）A.0 B.2 C.0或 D.0或2【答案】B【解析】若直线和互相垂直，则，解得.故选：B.5.若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（）A.4680 B.4320 C.3640 D.3860【答案】B【解析】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排，有种排法，因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法.故选：B.6.已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若方程表示双曲线，则，解得或，所以实数m的取值范围为.故选：C.7.的展开式中的系数为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】解法一：因为，所以展开式中的系数为1；解法二：展开式中的项为，所以的系数为1.故选：C.8.已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（）A. B.C D.【答案】D【解析】设点，则，且，可得，化简得，即，且.故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】设等比数列的公比分别为.与可能为0，故A，B错误；，故是等比数列，故C正确；，故是等比数列，故D正确.故答案为：CD.10.已知曲线的方程为（其中为参数），则（）A.若曲线表示圆，则 B.若曲线表示椭圆，则C.若曲线表示双曲线，则 D.若曲线表示轴，则【答案】AD【解析】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线，则，则曲线的方程为，若曲线表示圆，则有，则，A对；对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错；对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错；对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确.故选：AD11.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A项，令，则，A项正确；对于B项，令，则，B项正确；对于C项，令，则，结合B项得，C项错误；对于D项，，，则，D项正确．故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.平行直线与之间的距离是_____.【答案】2【解析】因为直线与平行，所以由平行线间的距离公式可得.故答案为：2.13.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________．【答案】【解析】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将代入得，故所求双曲线方程为，即.故答案为：14.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数_______．【答案】个【解析】有一位正偶数时，可选、，当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种，当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种，当有四位正偶数时，首项为时，由种，首位为时，只有符合条件，所以共有种.故答案为：个.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前项和为，满足.（1）求和；（2）求数列的通项公式.解：（1）在数列中，，令，得，解得，令，得，即，解得.（2）在数列中，，当时，，两式相减得，即，因此数列是公比为2的等比数列，首项为，所以数列的通项公式.16.已知直线，圆.（1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值；（2）若直线与圆相切，求实数的值.解：（1）由题意得，圆心在直线上，即,解得.（2）圆的半径为，圆心到直线的距离，解得或.17.已知抛物线过其中两点，为的焦点.（1）求的方程；（2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程.解：（1）若点在上，则，解得，此时，点B不在E上；若点在E上，则，无解；若点在E上，则，无解.综上，E的方程为.（2）如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0，设联立l及E的方程得，则此时，，解得.故直线的方程为或.18.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生甲不站左端.解：（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法．（2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法．（3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法：当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法．根据分类加法计数原理知共有（种）站法．19.已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上．（1）求C的方程；（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求；（3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：．（1）解：对于圆，令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为；令，可得，解得，可知椭圆的焦点为；则，，则，所以椭圆C