甘肃省兰州市多校2025-2026学年高二上学期1月阶段性诊断数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省兰州市多校2025-2026学年高二上学期1月阶段性诊断数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】数列的符号依次为负、正、负、正，呈现出的规律；分子依次为1，3，5，7，，是首项为1、公差为2的等差数列，通项为；分母依次为1，4，9，16，，即，，，，通项为；故该数列的通项公式为：.故选：B.2.圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.相切 D.内含【答案】A【解析】圆的圆心坐标，半径；圆的圆心坐标，半径.圆心距：，又，所以，故两圆外离.故选：A.3.在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为底面是平行四边形，，所以是、的中点.由向量的平行四边形法则可得，，，所以.故选：D.4.已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，所以，设直线的方程为，可得，解得，所以，即.故选：C.5.已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（）A.7 B. C. D.【答案】B【解析】设，（），因为点为双曲线的两个焦点，所以.在中，由余弦定理得，，即，解得，即.因为点在双曲线上，所以，即，所以.故双曲线的离心率为：.故选：B.6.已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（）A.1 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】设点，则根据题意可得：，整理得：，则，因为，所以当时，，故选：C7.已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（）A.1121 B.1123 C.3365 D.3367【答案】D【解析】已知，，，所以，，，，，，，可以发现，每3项为一组，依次是“奇、奇、偶”.若为奇数，；若为偶数，，结合的周期，每3项的为：，，，和为，，，，和为，，，，和为，可见每组和为6，12，18，（等差数列，首项6，公差6，共33项）所以前99项和为，第100项为第34组的第1项，为奇数，故.所以的前100项和为.故选：D.8.已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为，可得，则，可得，所以，又由，设，可得，因为，可得，解得，即，又由向量，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为，所以点到的距离为，又因为等边的边长为，所以，所以三棱锥的体积为.即三棱锥的体积为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为构成空间的一个基底，所以不共面.选项A：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合.选项B：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.B不符合.选项C：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.C不符合.选项D：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.D符合.故选：AD.10.记等差数列的公差为，前项和为，已知，则（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】作差得，，所以；选项A，由和可知，公差，正确；选项B，，与推导结论一致，正确；选项C，，不成立，错误；选项D，，，由均值不等式得，因为，所以成立，正确.故选：ABD.11.已知实数满足，则（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.当时，的最小值为【答案】ACD【解析】对配方得，，即点在以为圆心，1为半径的圆上.选项A：设，即，可得的最值对应直线与圆有交点时的截距最值，即圆心到直线的距离.又，所以，即，解得，故最小值为，选项A正确.选项B：根据圆的位置（第一象限）可知，，，故，表示圆上的点到原点的距离的平方，最值对应的点位于过原点与圆心的直线与圆的交点上.故最小值为，选项B错误.选项C：令（），则，因此求的最小值等价于求的最大值，即求的最小值.又表示圆上的点与原点连线的斜率，可设过原点的直线为，即.又该直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，即，即，整理得，解得.当时，，，即的最小值为，C选项正确.选项D：表示圆上的点到点的距离，记为.令（），点，即抛物线（）右半支上的点，故原式可表示为圆上点到抛物线上点的距离.而表示到点的距离.所以的最小值即为圆上的点到点的距离的最小值.又圆心到点的距离，所以圆上的点到点的距离的最小值为，选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为_____．【答案】【解析】，，，所以.故答案为：.13.在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则_____．【答案】16【解析】数列首项为，通项公式为.当时，，满足通项公式.当时，，所以.当时，，所以.当时，，所以.当时，，所以.通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为.令，则，所以.故答案为：16.14.已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____．【答案】【解析】设点，则.直线的方程：，即；直线的方程：，即.，点到直线的距离：，.，点到直线的距离：，.所以.设，，则，.，当且仅当，即时，等号成立.因此的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆的右焦点为，离心率为．（1）求的方程；（2）过点且斜率为的直线与交于两点，求的面积．解：（1）设半焦距为．由的右焦点为，得．由的离心率为，得，所以．所以，所以椭圆的方程为．（2）设．由题意可知直线的方程为，即，与联立，得，解得．因为，所以点在椭圆内.所以，即的面积为．16.（1）若为等差数列，且，求的通项公式；（2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和．解：（1）设的公差为．由题意知，解得，所以．（2）设的公差为，则，即．当时，，又，得，所以，也符合该式．此时．17.如图，菱形与矩形所在的平面垂直，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接，因为侧面菱形，，所以是正三角形，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，又平面,所以平面．因为平面，所以．因为在矩形中，，且，则得，因为，所以，所以，因为，所以平面．（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，所以．设平面的法向量为，则，即，故可取．设直线与平面所成的角为，则．18.如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．（1）若轴，求四边形的面积；（2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值；（3）求线段的中点的轨迹方程．（1）解：当轴时，不妨设、，如图所示：所以，，且，连接，由切线长定理可得，，，故，则．（2）证明：设，因为，所以直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以，整理得，同理有，所以、是方程的两个实根，所以，，所以为定值．（3）解：由题知，，所以点、在以为直径的圆上，由、得该圆的方程为，将与相减，得直线的方程为．取，得，所以直线过定点，又因为为的中点，所以，即，所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为．又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合，所以点的轨迹方程为，即．19.已知点在抛物线上，的焦点为．（1）点在上，且满足，求；（2）设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且．（i）若，求；（ii）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和．解：（1）因为点在上，所以，