甘肃省兰州市兰州新区多校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省兰州市兰州新区多校2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.等差数列中，已知，则（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】因为等差数列，所以有，所以．故选：C.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以，所以，故抛物线的准线方程为．故选：C.3.已知直线：，：若，则的值为（）A. B.3 C. D.3或【答案】B【解析】因为，所以，整理得，解得或.当时，为，为，此时两直线平行；当时，为，即，为，即，此时两直线重合，应舍去.故选：B.4.甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（）A.24种 B.36种 C.64种 D.81种【答案】D【解析】甲、乙、丙、丁四名同学每名同学选课均有王老师、张老师、李老师共3种选择，根据分步乘法计数原理共有种选择．故选：D.5.已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】设，则，所以，则，由，则，故，综上，，所以，则，所以，则，可得，所以.故选：A6.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，则，解得，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为．故选：B.7.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【解析】根据双曲线的性质，如果在同一支上，则的最小值为通径，即，如果在两支上，则的最小值为实轴长，即．因为，所以根据双曲线的性质，这样的直线有4条,如图.故选：D．8.如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，则，所以，而，所以，同理可得，依次递推可得到，令，则是以3为首项，为公比的等比数列，其前项和，当时，则，所以最接近的值为.故选：.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点（2，1）B.圆的半径为2C.存在实数，使得直线与圆相切D.若，则直线被圆截得的弦长为2【答案】AB【解析】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确；对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确；对于选项C，将点代入圆的方程，得，所以（2，1）在圆内，所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误；对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误．故选：AB.10.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线交于点（其中），与的准线交于点．下列结论正确的是（）A. B.C.的面积为 D.【答案】BD【解析】由已知可得，，准线，直线的方程为．联立直线与抛物线的方程，可得．由根与系数的关系可得，，故A错误；结合图象，由弦长公式得，故B正确；点到直线，即的距离为，所以的面积，故C错误；过点作，连接，因为倾斜角为且，所以为等边三角形，在直角三角形中，，故，所以，即线段中点为点，故，D正确．故选：BD.11.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法C.若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法【答案】ACD【解析】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确；课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误；课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确；课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种；当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种，故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确．故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则__________【答案】或【解析】由组合数的性质，得或，解得或．经检验和均满足且，故的值为4或7.故答案为：4或7.13.在的展开式中，若的系数为，则______.【答案】【解析】由二项展开式的通项可得令，可得的系数为，所以，则，则故答案为：.14.已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为___________．【答案】或【解析】因为，即，所以．因为点是以为底的等腰内切圆的圆心，则，又为的角平分线，延长交直线于点，在与中，，所以，所以，所以为的中点，又为的中点，所以为的中位线，所以．若在轴右侧，则，所以，即，所以．若在轴左侧，则，所以，即，所以．综上，椭圆的离心率为或.故答案为：或.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在的展开式中，第5项为常数项．（1）求的值和该常数项的值；（2）求展开式中所有项的系数之和．解：（1）因为展开式的通项为，当时，，所以，解得，所以常数项的值为.（2）由（1），令，得，所以展开式中所有项的系数之和为1.16.如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的倾斜角为，求的面积．解：（1）由已知可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为．（2）由（1）知焦点坐标为，设，由已知得直线的方程为，即，与联立消去，得，则由韦达定理得，故，所以的面积为.17.已知数列中，，数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列为等比数列；（3）求的前项和．（1）解：已知，当时，当时，．验证时，，符合上式，故数列的通项公式为．（2）证明：因为，所以，所以，又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）解：由（2）可知，所以，记数列的前项和为，，①则·，②由①②可得即化简可得，即.18.已知圆圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点．（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．解：（1）圆的圆心的坐标为，将其代入直线得，解得.即圆的方程为.（2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.因为，所以，则圆心到直线的距离，解得.此时直线的方程为，故直线的方程为或．（3）因为，所以．①当直线的斜率不存在时，易知.，所以与不共线，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，得，可得.所以，所以，则，所以．若向量与共线，则，即，解得或，当时，，舍去，当时，所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，

即.19.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点．①求证：直线过定点；②求与面积和的最小值．（1）解：抛物线,抛物线的焦点坐标为，当直线的斜率为1时，直线的方程为，联立，得