甘肃省陇南市2026届高三上学期1月检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省陇南市2026届高三上学期1月检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】由题意得，的虚部是3．故选：D．2.设全集是小于7的自然数，，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，而，所以.故选：C.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（4，3）．故选：C．4.的展开式中常数项是（）A.20 B.15 C.6 D.1【答案】A【解析】的展开式的通项公式为，令，得，即，即的展开式中常数项是．故选：A.5.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】C【解析】由题意可知等差数列满足：，所以得：，所以．故选：C．6.已知双曲线的一条渐近线方程为，则E的离心率为（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，离心率．故选：D．7.设，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由诱导公式有，故或，解得或，由于，当时，无整数满足条件；当时，令，可得满足条件.故选：B.8.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设球心为O，球的表面积为，解得，是边长为3的正三角形，的外接圆半径，到平面的距离，D到平面ABC的距离的最大值为，四面体的体积的最大值为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.若，，则【答案】BD【解析】若，时，则，故A错误；若，时，，故B正确；若，当时，，但，命题不成立，故C错误；当时，，又，所以，故D正确.故选：BD.10.已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（）A.曲线关于轴对称B.当时，曲线表示椭圆C.当时，曲线表示双曲线D.当时，曲线表示两条平行直线【答案】ACD【解析】因为曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，对于选项A：将换成可得，所以曲线关于轴对称，故A正确；对于选项B：例如满足，此时曲线表示圆，故B错误；对于选项C：若，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线；综上所述：当时，曲线表示双曲线，故C正确；对于选项D：若，且至少有1个大于0，当时，曲线是与轴平行的两条直线；当时，曲线是与轴平行的两条直线；综上所述：当时，曲线表示两条平行直线，故D正确；故选：ACD.11.已知函数的定义域，对任意的，恒有=，则下列结论正确的是（）A.B.是奇函数C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】中取得，取，得，故A正确；取得，故B正确；由题意构造函数，满足，取，满足，此时，所以，故C错误；取，得，所以，又，则数列为等差数列，首项为1，公差为1，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，向量，，若，则a的值为______．【答案】【解析】由，得，即，解得．故答案为：.13.在中，，，其面积为，则______.【答案】【解析】因为，则，又，则，即，因为，所以，所以，由余弦定理得到，所以.故答案为：.14.设函数，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由，可知，则当时，恒成立，在上单调递减，且的值域为，不满足，不成立；当时，由得，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由得，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求；（2）设函数，求的单调区间．解：（1）因为函数，且，所以，又，所以.（2）由（1）知：，所以，所以.令，显然是增函数.因为当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以函数的单调递增区间为：，单调递减减区间为：.16.在如图所示的直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面AEF夹角的大小．（1）证明：设，连接，在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以G为的中点，又F为BC的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，，，又，所以，以A为原点，直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，则，，，设平面的法向量，则，取，则，所以平面的一个法向量．设平面的法向量，则，取，得，，所以平面AEF的一个法向量．因为，所以，即平面与平面AEF的夹角是90°．17.已知函数，其中，.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.解：（1）当时，，定义域为，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.（2）当时，，定义域为，所以，因为在区间上存在极值，所以在上必存在变号零点，令，则在上必存在变号零点，因为，所以，解得，当时，，且在上单调递增，又，故存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.18.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切．（1）求的标准方程；（2）已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标；（3）过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：．（1）解：由题意，设的方程为，准线为，因为圆与的准线相切，且圆心为，半径为.所以，解得，所以的标准方程为．（2）解：设，当，即时，，解得或（舍去）；当，即时，，解得，所以点的坐标为或．（3）证明：根据题意，直线的斜率存在，，设直线的方程为，联立，消去并整理得，所以，对求导，得，由，解得，所以．因为，所以，又，所以.19.某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据：性别排球喜欢不喜欢男生78122女生11288（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？（2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为.（i）求；（ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）零假设为：是否喜欢