甘肃省天水市甘谷县多校联考2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省天水市甘谷县多校联考2026届高三上学期1月期末考试数学试题一、单项选择题1.下列说法不正确的是（）A.命题p：，，则命题p的否定：，B.若集合中只有一个元素，则C.若，，则D.已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4【答案】B【解析】对于A，由全称命题的否定知，命题p：，，的否定为，，故A正确；对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B不正确；对于C，因为，，所以，，则，故C正确.对于D，由，故集合N的个数为，故D正确.故选：B.2.设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；当且时，设存在直线，且，因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件．故选：A．3.已知数列中，，，则（）A.1 B. C.－1 D.－2【答案】D【解析】因为，，所以，，，所以是以3为周期的数列，所以.故选：D.4.已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为，又已知双曲线C的渐近线方程为，则，所以双曲线的离心率．故选：D.5.若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（）.A.①④ B.③④ C.①②③ D.②③【答案】B【解析】在①中，的大小不能确定，故①错误，在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误，在③中，为任一非零向量，则，故③正确，在④中，由题意可知，故④正确.故选：B.6.已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体ABCD体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为平面平面BCD，所以点A在平面BCD的射影E落在BD上，当点E为BD的中点时，AE最大，此时四面体ABCD的体积取最大，如图所示：在中，设其外接圆的圆心为O，取BC的中点F，连接DF，则点O在DF的直线上，由余弦定理得，，且，则，设外接圆的半径为r，则，得，当四面体ABCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O，则，且，得，，此时四面体ABCD体积的最大值为：故选：B.7.不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记至少有两个球颜色相同为事件，两球颜色不同为事件，则，，所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为,故选：B.8.若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】解集为，当时，的解集为，因为关于的不等式组的整数解只有，所以，即，当时，的解集为空集，不满足题意，当时，的解集为，不满足题意，综上，的取值范围.故选：D.9.如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，在平面内作轴，轴交于点，连接，则是二面角的平面角，即，则，由轴垂直于，平面，得轴垂直于平面，又轴，则平面，而平面，因此，又函数的周期，即，由勾股定理得，即，解得，而函数的图象过点，则，即，又，且0在的递减区间内，所以.故选：B.二、多项选择题10.已知复数，则（）A.的虚部为B.C.D.复数在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】由题意可得，则的虚部为，，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，综上：A正确，B错误，C错误，D正确.故选：AD.11.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对A选项：由，，且，故，当且仅当时等号成立，即，故A正确；对B选项：由，，且，故，当且仅当时等号成立，即，故B错误；对C选项：由，，且，故，当且仅当时等号成立，即，故C正确；对D选项：由，，且，故，当且仅当，即、时等号成立；即，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以，所以，则直线l的方程为，即，故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点，所以的取值范围是，即，弦长是的减函数，故的最小值为当时取得，即，的最大值为当时取得，即，故的取值范围是．故答案为：.13.数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.【答案】3018【解析】.14.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______________.【答案】【解析】由题意有：，又，所以，令，即，又，由，所以在上单调递增，所以在上单调递增，由，所以，令，即，所以，所以当时，，所以在单调递减，所以，所以，又，所以，故答案为：.四、解答题15.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求角的值；（2）若，的面积为，求，的值．解：（1）由及正弦定理，得．因为，所以，所以．因为，所以，即．因为，所以，所以，．（2）由（1）得，因为的面积为，即，所以．由余弦定理，得．因为，所以，所以．所以，所以；又，所以．所以．16.近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表．年龄食用频数25岁以下（）25岁到50岁50岁及以上（）轻食低频消费者（每周次）153550轻食中频消费者（每周2-3次）554540轻食高频消费者（每周4-6次及以上）302010（1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．（2）从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望．解：（1）记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件B，则，，，由表中数据估计概率，，，所以，即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为．（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2，依题意，的所有可能取值分别为0、1、2、3．所以，，，．所以的分布列为：0123P所以的数学期望为．17.如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求平面与平面的夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（1）证明：取PD中点N，连接MN，AN，因为M，N分别为PC，PD中点，所以，且，因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：（i）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，，因为，所以，即，所以两两垂直，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，所以，因为平面，为棱的中点，所以即为平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，所以，则，所以平面与平面的夹角的正弦值.（ii）假设线段上存在点满足条件，设，，则，所以点到平面的距离，解得，则，所以存在，使得点到平面的距离是.18.在数列中，.（1）求证：是等比数列；（2）若等比数列满足.（i）求的值；（ii）记数列的前项和为.若，求的值.（1）证明：因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：（i）由（1）可得，所以，所以，则，因为数列为等比数列，所以，即，化简得，解得或，又，所以，当时，，此时为定值，符合题意；（ii）由（i）可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，易知，所以，所以为偶数，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以．19.已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点.①求a的取值范围；②若成等差数列，求证：.（1）解：，定义域为，，令得，故的单调递减区间为；（2）①解：，即，故，有三个不同的零点，故有3个不同的正根，令，定义域为，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点，令，则，令得，令