甘肃省天水市清水县多校联考2026届高三上学期1月期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省天水市清水县多校联考2026届高三上学期1月期末检测数学试题一、单选题1.若复数为纯虚数，则（）A. B.0 C.2 D.4【答案】D【解析】由复数是纯虚数，得，解得，则，，所以.故选：D.2.在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】设没剔除两对数据前的平均数分别为，，剔除两对数据后的平均数分别为，，因为，所以，，则，所以，又因为，所以，解得.故选：C.3.记等比数列的前项和为，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，则，即，解得或.设等比数列公比为，则，，则，得.故选：B.4.已知第二象限角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，即，根据二倍角公式展开即：，解得或，又因为为第二象限角，故，则，，故．故选：D．5.定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】设函数，则，可知当时，不等式恒成立，即恒成立，所以当时，，在上单调递增，因为是R上的奇函数，即，可得，所以函数是R上的偶函数，所以在上单调递减，因为，，所以，函数的零点的个数，即方程的解的个数，即函数和函数图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示，由图像可知，函数和函数图像有3个交点，所以函数的零点的个数为3.故选：D.6.不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若不等式在上恒成立，则当时，恒成立，满足题意；当时，，解得：；若不等式在上恒成立，则；对于A，，，是不等式在上恒成立的充分不必要条件，A正确；对于B，是不等式在上恒成立的充要条件，B错误；对于C，，，是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，C错误；对于D，，，是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，D错误.故选：A.7.已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】显然该函数的定义域为全体实数，因为，所以该函数是奇函数，，，即，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以有，当时取等号，而，当且仅当时取等号，显然与不能同时成立，所以，所以该函数是实数集上的增函数，且又是奇函数，所以，令，因为m，n是正实数，所以，所以，即，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以当时，的最小值为，故选：D.8.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，则为直角三角形，取AB中点为，则为外心.取BC中点为D，连接PD，则外心在PD上.因，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面.连接，因平面，则，现分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O，因过三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂线上的点到三角形顶点距离相同，则两垂线交点O到三棱锥各顶点距离相同，即O为球心.又注意到，则四边形为矩形.因，，，则.则，，得在外.因为外心，则，设，则，则.又，，则，则球体半径为3，故球体体积为：.故选：B.二、多项选择题9.已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，，则C.若，，，则D.若，，，，则【答案】BCD【解析】A：若，有可能，故A错误；B：若，则，这是线面垂直的判定定理，故B正确；C：若，则，这是线面平行的性质定理，故C正确；D：若，则，这是面面垂直的性质定理，故D正确.故选：BCD.10.已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（）A.B.．C.与的等比中项为4D.数列是公差为的等差数列【答案】BD【解析】因为数列是单调递增的等比数列，所以．由，解得或（舍去），则数列的公比，，，则，与的等比中项为，所以AC错误，B正确；因为，所以数列是公差为的等差数列，所以D正确；故选：BD．11.已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（）A. B.的一个周期为8C. D.的图象关于对称【答案】BCD【解析】因为是奇函数，所以，令，可得，解得，A错误；因为是偶函数，则，且，用代替可得，即.又，则，所以，从而有，所以的一个周期为8，B正确；因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，所以，C正确；由，两边同时对求导得，即，所以函数的图象关于直线对称，D正确.故选：BCD.三、填空题12.平面向量，若，则______.【答案】【解析】由，得，解得.则，.故答案为：.13.已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为___________．【答案】1215【解析】由的展开式中各项系数之和为64，得当时，，即，解得，则展开式中含的项为，所以所求展开式中的系数为1215.故答案为：1215.14.已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为______.【答案】【解析】由函数，令，因为，可得，因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则这2个交点的横坐标分别为，则，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题15.如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上.（1）求的面积；（2）若，，求CE的长.解：（1）中，，因为，，所以，所以，因为，所以；（2）方法1：因为,所以,所以，则.方法2：在中，由余弦定理得，因为为线段上靠近的三等分点，所以，因为，所以，因为为锐角，所以，在中，由余弦定理得，，所以.16.如图，在长方体中，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，，．因为，，，所以，，所以，，又因为，平面，所以平面；（2）解：设平面的法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，因为，所以，，，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为．17.为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．（1）求抢答题被回答正确的概率；（2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）设＂甲抢到抢答题＂为事件，＂抢答题被回答正确＂为事件，由题意可知：，由全概率公式可得，所以抢答题被回答正确的概率为．（2）由题意可知：的可能取值有：0，1，2，则有：，，，所以的分布列为：012期望．18.已知各项均为正数的等差数列的公差不等于，，设、、是公比为的等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和为，（3）设，求数列的前项和为.解：（1）由已知、、成等比数列，则，即，整理可得，，，所以，，，，.（2），.（3），，，两式相减得，，令，，，，.19.已知函数.（1）当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值.（2）已知恰有两个零点恰有两个零点，且.（i）求的取值范围；（ii）证明：.（1）证明：因为，所以曲线在点处的切线方程为，由该切线过原点，得，整理得，故为定值；（2）（i）解：法一，，令，得单调递增，令，得单调递减；故的极大值为，当时，，当时，，当时，，当时，，若恰有两个零点，则，得；由，可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，且，故的取值范围是；法二：令，得，令，得，设，则，由，得单调递增，由，得单调递减；由，得单调递增，由，