广西壮族自治区崇左市2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区崇左市2026届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的虚部为（）A. B.4 C.8 D.4i【答案】B【解析】，即虚部为4.故选：B.2.若直线与直线垂直，则（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得．故选：C．3.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，则或，又，所以或.故选：B.4.现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第80百分位数比中位数多（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将数据从小到大排列：2，2，3，4，4，5，5，6，8.中位数为4.因为，所以第80百分位数为排序后第8个数，为6.所以这组数据的第80百分位数比中位数多.故选：C.5.设向量，，则的最大值为（）A.13 B.5 C.8 D.10【答案】C【解析】，其中.因为，所以，故.故选：C.6.已知定义在上的函数满足，，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】由得，，所以，所以，因此函数的周期为6.所以.故选：B.7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，则的面积，则面积的最大值为.故选：A.8.已知函数的值域是，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由有意义得，，解得.，令，则，因为，所以，即且，则，整理得，解得或（舍去）.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得最大值，.当时，，当时，，所以函数的值域是，则，，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线：，：，：，则（）A.与的实轴长相等 B.与的焦点相同C.与的离心率相等 D.与的焦距相等【答案】ACD【解析】对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为，对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为，对于，对应参数分别为，实轴长为，焦点为，离心率为，焦距为，所以与的实轴长、离心率相等，与的焦点不同，与的焦距相等.故选：ACD.10.在正三棱锥中，，则（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.当时，二面角的正切值为2D.当时，正三棱锥外接球的表面积为【答案】BC【解析】如下图，设点在底面的射影为点，则点为正三角形ABC的中心，连接AH，PH，则，，A错误，B正确，取AB的中点，连接CN，PN，则，，所以是二面角的平面角，，当时，，则，C正确.设正三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线PH上，当时，，则，解得，所以球的表面积为，D错误.故选：BC.11.已知函数（），则（）A. B.的零点个数为1C.在上存在零点 D.在上单调递减【答案】BCD【解析】A：由，错，B：令，则，所以，则，且，令，且，所以与的零点相同，所以，所以在上单调递增，而，所以在上存在零点，则在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，而，，，故在上存在一个零点，则在上存在唯一零点，即在上零点个数为1，对，C：由B分析知，在上存在一个零点，对，D：由题意，令且，所以，即在上单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上单调递减，对.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正方体中，，分别为线段，的中点，则在该正方体的12条棱中，与平行的棱共有______条.【答案】4【解析】因为，分别为线段，的中点，所以.正方体中，，所以与平行的棱共有4条.故答案为：4.13.若函数的图象关于点（）对称，则______.【答案】【解析】令，则，故的对称中心为，所以，可得时有.故答案为：.14.某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______.【答案】【解析】人数安排可以是，，若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择2人坐该车，然后再从剩余的人中选取4人坐其中一辆，共有种；若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择4人坐该车，然后再从剩余的人中选取3人坐其中一辆，共有种；则共有种安排方式.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.小张参加射击训练，他每次射击的命中率为，共射击4次，这4次射击命中的次数为，设他每次射击是否命中相互独立.0123401248（1）求的概率；（2）求的方差；（3）若命中次数与其对应的积分如下表所示，求的均值.解：（1）由题设，则；（2）由（1）知，；（3）由（1），，，，，，所以.16.设等比数列的公比，，且（1）求的值；（2）若，，成等差数列，求的值；（3）设数列的前项和为，证明：．（1）解：因为，所以．又，所以．（2）解：因为，，成等差数列，所以，所以．因为，，所以，解得．（3）证明：因为，所以，，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以．17.已知函数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）证明：仅有两个极值点.（1）解：为奇函数，理由如下：由题设的定义域为R，且，所以为奇函数；（2）解：由，则，而，所以曲线在点处的切线方程，即；（3）证明：由（2），令，可得，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以仅有两个极值点，分别为，得证.18.如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，=，且.（1）证明：平面平面.（2）设，三棱锥的体积为.（i）求的单调区间；（ii）当取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为，且，面，所以面，因为面，所以平面平面.（2）解：（i）由可知，当时，，因为，所以，可知，因为，所以，可知，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，则的单调递增区间为，单调递减区间为.（ii）由（i）可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为，即函数在时取得极大值，也是最大值，则，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设面的法向量为，可知，即，令，解得，可得面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.设抛物线：（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为.（1）若点的坐标为，求.（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧.（i）证明：的周长为定值.（ii）证明：的离心率大于.（1）解：将点的坐标代入，得，解得，则的方程为，，的方程为，则，故；（2）证明：（i）设，，，则，由题意知，，因为经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，根据椭圆的对称性，得的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标，又的焦点均在轴上，所以在轴上，即．设的长半轴长为，则