福建省福州市台江区九校2025-2026学年高二数学上学期期中试题含解析

福州市九校联考2025-2026学年高二上学期期中考试

数学试卷

一、单选题

1．直线3xy10的斜率是（）

A．3B．3C．1D．1

2．圆x2y22x0的圆心是（）

A．1,0B．1,0C．0,1D．0,1

3．已知向量a2,1,3，b1,1,x，若a与b垂直，则a2b（）.

A．2B．52C．213D．26

4．如图，在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc．点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，

则MN等于（）

121211

A．abcB．abc

232322

111221

C．abcD．abc

222332

5．过点P2,3，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）

A．xy10B．xy10或3x2y0

C．xy50D．xy50或3x2y0

6．已知直线l的方向向量为n(1,0,2)，点A0,1,1在直线l上，则点P1,2,2到直线l的距离为（）

3030

A．230B．30C．D．

105

7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x1)2y21，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若

PT＝2PB，则动点P的轨迹方程为（）

A．x2y214x180B．x2y214x180

C．x2y210x180D．x2y210x180

8．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，ACABCC11，E是线段AB的中点，在A1BC内

有一动点P（包括边界），则PAPE的最小值是（）．

A．33B．233C．33D．33

2363

二、多选题

9．已知直线l1：axy3a0，直线l2：2xa1y60，则（）

A．当a3时，l1与l2的交点是3,0B．直线l1与l2都恒过3,0

1

C．若ll，则aD．若l∥l，则a1或a2

12312

10．已知空间向量a2,2,1，b3,0,4，则下列说法正确的是（）

A．向量c8,5,6与a、b垂直

B．向量d1,4,2与a、b共面

2

C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成的角的余弦值为

3

D．向量a在向量b上的投影向量为6,0,8

11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E满足BEBCBB101,01，则（）

A．若，则B1CAE

B．若1，则B1C∥平面A1DE

C．若1，则AED1E的最小值为6

π

D．若221，则AE与平面BBCC的所成角为定值

114

三、填空题

12．已知点A4,5,6，B2,3,4，则AB的中点坐标为.

22

13．已知圆C:x1y225，直线l:2m1xm1y7m40，mR，则直线l截圆C所得

弦长AB的最小值为.

14．曲线C:x2y2xy，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有．

①曲线C的图象关于原点对称；②AB的最大值22

③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为π2

四、解答题

15．如图，在平行六面体ABCDABCD中，ABAD2，AA3，BAD90，BAADAA60.

(1)以AB，AD，AA'为基底向量，表示向量BD、AC；

(2)求证：BDAC；

(3)求AC的长.

16．已知圆M的方程为x2y26x8y210，点P3,m在圆M内.

(1)求圆M的圆心和半径；

(2)求实数m的取值范围；

(3)求过点Q1,0且与圆M相切的直线l的方程.

17．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的

中点，F是PB上的点，且2PFFB.

(1)求证：PA//平面EDB；

(2)求证：PB平面EFD；

(3)求平面EFD与平面ADF夹角正弦值.

18．如图1，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，ABAC25，BC4.将

△

ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如图2.

（1）求证：A1OBD.

（2）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值.

35A1F

（3）线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若

7A1C

不存在，说明理由.

19．在平面直角坐标系中，定义dA,Bmaxx1x2,y1y2为两点Ax1,y1，Bx2,y2的“切比雪夫距

离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称dP,Q的最小值为点P到l的“切比雪夫距离”，记作dP,l.

(1)已知点P3,1和点R1,4，直线l：x1，求dP,R和dP,l.

2

222325

(2)已知圆C：xy2x30和圆E：xaya.

24

1

（i）若两圆心的切比雪夫距离dC,E，判断圆C和圆E的位置关系；

2

（ii）若a0，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且dM,N3，过点M任作一条斜率不

为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线AN为l1，直线BN为l2，证明：dM,l1dM,l2.

参考答案

1．B

【详解】由3xy10y3x1.

所以直线的斜率为3.

故选：B

2．A

2222DE

【详解】圆xyDxEyF0DE4F0的圆心为,，

22

圆x2y22x0的圆心为1,0.

故选：A.

3．D

【详解】由于a与b垂直，所以ab213x0x1，所以a2b4,3,1，

222

故a2b43126，

故选：D

4．B

【详解】连接ON，如图：

12211

MNONOMOBOCOAabc.

23322

故选：B.

5．D

【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为ykxk0，

3

因为直线过点P2,3，所以32k，即k，

2

3

所以直线方程为yx，即3x2y0；

2

xy

若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为1a0，

aa

23

因为直线过点P2,3，所以1，解得a5，

aa

xy

所以直线方程为1，即xy50.

55

故所求直线方程为xy50或3x2y0.

故选：D.

6．D

【详解】由已知得PA(1,1,1)，

因为直线l的方向向量为n(1,0,2)，

所以点P1,2,2到直线l的距离为

22

2PAn12930

PA33

22

n1255

故选：D

7．C

22

【详解】设P(x，y)，∵PT＝2PB，∴PT＝2PB

∴(x1)2y212[(x3)2y2]

整理得：x2y210x180.

故选：C

8．C

y

【详解】以C为原点，CA所在直线为x轴，过点C且平行于AB的直线为轴，CC1所在直线为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系Cxyz，

1

则A11,0,1，B1,1,0，C0,0,0，A1,0,0，E1,,0，

2

所以CB1,1,0，CA11,0,1，AA10,0,1．

设A关于平面A1BC的对称点为Ax,y,z，z0，

则AA11x,y,1z，AAx1,y,z．

CBnxy0

设平面的法向量，则11，

A1BCnx1,y1,z1

CA1nx1z10

令x11，则y11，z11，所以n1,1,1，

AA1nAA1nxyz

所以A与到平面的距离3，

AA1BCd

n3n3

即xyz1①．

x1yz

又AA∥n，所以，即x1yz②．

111

122

由①②得3z11，由z0可得x，y，z，

333

122

所以A,,，

333

222

121241433

所以PAPEPAPEAE10，

332393696

当且仅当A，P，E三点共线时取等号，

所以PAPE的最小值为33．

6

故选：C.

9．ABC

【详解】对于A：当a3时，l1:3xy90,l2:xy30，

3xy90x3

由解得，所以l1,l2的交点是3,0，A正确；

xy30y0

对于B：l1可化为ax3y0，恒过x30与y0的交点3,0，

l2可化为2x6a1y0恒过2x60与y0的交点3,0，B正确；

1

对于C：若ll，则2aa10，解得a，C正确；

123

对于D：若l1//l2，则aa12，解得a1或a2，

又当a2时，l1与l2重合，所以a1，D错误.

故选：ABC.

10．BC

【详解】对于A选项，ac161060，bc24240，故a、c不垂直，A错；

对于B选项，设dmanb，则m2,2,1n3,0,41,4,2，

2m+3n=1

m=2

所以，2m=4，解得，即2abd，B对；

n=1

m+4n=2

ab102

对于C选项，因为cosa,b，

ab353

2

所以，直线异面直线l与l的余弦值为，C对；

123

b2168

对于D选项，向量a在向量b上的投影向量acosab33,0,4,0,，D错.

b3555

故选：BC.

11．ACD

【详解】对于A选项，因为，所以易知点E为BC1中点，

如图，连接AB1和AC，由正方形易知AB1AC，

因为点E是B1C的中点，所以B1CAE，故A选项正确；

对于B选项，由题意得点E在线段B1C上运动，

由正方体的性质可知B1C//A1D，所以B1，C，A1，D四点共面，

因为点EB1C，所以点E平面CDA1B1，

所以平面A1DE和平面B1CA1D为同一平面，

所以B1C在平面A1DE，故B选项错误；

对于C选项，由题意得AE扫过的平面为平面AB1C，

D1E扫过的平面为平面D1B1C，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，

易知当点A、E、D1三点共线时AEED1最短，

所以AEED1AD122sin606，故C选项正确；

1

对于D选项，由BCBB1和221易知点E在以B为圆心半径为1的圆上运动，

14

因为AB平面BCC1B1，所以AE扫过的图形为圆锥面，

所以AEAB1AC2，且AE为圆锥的母线，

因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，

所以AE与平面BB1C1C的所成的线面角恒定，

h1π

因为tan1，所以，故D选项正确.

r14

故选：ACD.

12．1,4,1

【详解】因为A4,5,6,B2,3,4，

所以由中点公式可得AB的中点坐标为1,4,1.

故答案为：1,4,1.

13．45

【详解】直线l可化为m(2xy7)(xy4)0，

2xy70x3

令，所以直线l恒过定点A3,1，

xy40y1

易知点A在圆C内，所以直线l截圆C所得弦长最小时，弦心距最大，此时CAl，

22

圆C:x1y225，圆心1,2，半径为5，

12m13

k，又CAl，则k2，解得m，

CA2lm14

|CA|415，

直线l截圆C所得弦长的最小值为225545.

故答案为：45

14．①②④

【详解】对于曲线C，当x0，y0时，曲线C表示x2y2xy，

111

即(x)2(y)2，

222

112

表示以,为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上的点）；

222

111

当x0，y0时，曲线C表示x2y2xy，即(x)2(y)2，

222

112

表示以,为圆心，半径为的圆在第四象限的部分（包括坐标轴上的点）；

222

111

当x0，y0时，曲线C表示x2y2xy，即(x)2(y)2，

222

112

表示以,为圆心，半径为的圆在第二象限的部分（包括坐标轴上的点）；

222

22

22111

当x0，y0时，曲线C表示xyxy，即xy，

222

112

表示以,为圆心，半径为的圆在第三象限的部分（包括坐标轴上的点）；

222

其图象如图所示，

对于①，C:x2y2xy，将x换成x，y换成y得

22

xyxy，即x2y2xy，曲线方程不变，

结合上面画出的曲线图象，所以曲线C关于原点对称，①正确；

对于②，曲线上两点之间最大距离，如图中A,B两点间的距离，

111x1

其中联立(x)2(y)2与yx得，故B1,1，

222y1

同理可得A1,1，故AB22，故②正确；

对于③，不妨设直线AB的方程x1，此时不妨设A1,1,B1,1，

此时x1与曲线C有其它交点E1,0，故③错误；

对于④，曲线C围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形CDEF的面积之和，

2

其中4个半圆的半径均为，正方形CDEF的边长为2，

2

2

其面积为12，故④正确；

4π222π

22

故答案为：①②④．

15．(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)29

【详解】（1）在ABD中，根据空间向量的减法运算可得BDADAB，

ACACCCABADAA；

（2）由（1）

22

BD·ACADAB·ABADAAAD·ABADAD·AAABAB·ADAB·AA

11

042340230，

22

所以BDAC，则BDAC；

（3）由（1）ACABADAA，

2222

所以ACABADAA2AB·AD2AB·AA2AB·AA

11

449022322329，

22

所以AC29，即AC的长为29

16．(1)圆心M3,4，半径r2

(2)2,6

(3)x10或3x4y30

22

【详解】（1）由x2y26x8y210x3y44.

所以圆心M3,4，半径r2.

22

（2）因为点P3,m在圆M内，所以33m442m6.

所以实数m的取值范围为2,6.

（3）如图：

当过点Q1,0的直线不存在斜率时，其方程为x10，

此时圆心M3,4到直线l的距离为2，直线与圆M相切；

当过点Q1,0的直线存在斜率时，设斜率为k，则直线l：ykx1，即kxyk0，

3k4k3

因为直线l与圆M相切，所以2k，

k214

33

所以切线方程为：xy0即3x4y30.

44

综上，过点Q与圆M相切的直线为：x10或3x4y30.

17．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)10

5

【详解】（1）连接AC，交BD于点M，连接ME，如图：

因为底面ABCD为正方形，所以M为AC中点，又E为PC中点，

所以PA//ME，ME平面EDB，PA平面EDB，所以PA//平面EDB.

（2）因为PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，

所以DA,DC,DP两两垂直.

故可以D为原点建立如图空间直角坐标系.

不妨设AB6，则D0,0,0，A6,0,0，B6,6,0，C0,6,0，P0,0,6.

因为E为PC中点，所以E0,3,3.

因为F在PB上，且2PFFB，所以F2,2,4.

所以PB6,6,6，DE0,3,3，DF2,2,4，DA6,0,0.

因为PBDE018180，PBDF1212240.

所以PBDE，PBDF，又DE,DF平面EFD，DEDFD，

所以PB平面EFD.

（3）由（2）得，平面EFD的一个法向量为PB6,6,6；

设平面ADF的法向量为mx,y,z，

mDAmDA6x0

则，令y2，可得m0,2,1.

mDFmDF2x2y4z0

设平面EFD与平面ADF的夹角为，

mPB01263

则cos，

mPB6355

210

所以sin.

55

AF3

18．（1）证明见解析；（2）22；（3）存在，1.

3A1C4

【详解】（1）因为在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，

所以DE//BC，ADAE.

所以A1DA1E，又O为DE的中点，所以A1ODE.

因为平面A1DE平面BCED，且A1O平面A1DE，

所以A1O平面BCED，

所以A1OBD.

（2）取BC的中点G，连接OG，所以OEOG.

由（1）得A1OOE，A1OOG.

如图建立空间直角坐标系Oxyz.

由题意得，A10,0,2，B2,2,0，C2,2,0，D0,1,0.

所以A1B2,2,2，A1D0,1,2，A1C2,2,2.

设平面A1BD的法向量为nx,y,z.

nAB0,

则1

nA1D0,

2x2y2z0,

即

y2z0.

令x1，则y2，z1，所以n1,2,1.

设直线A1C和平面A1BD所成的角为，

nA1C24222

则.

sincosn,A1C

nA1C1414443

故所求角的正弦值为22.

3

（3）线段A1C上存在点F适合题意.

=

设A1FA1C，其中0,1.

设Fx1,y1,z1，则有x1,y1,z122,2,2，

所以x12，y12，z122，从而F2,2,22，

所以DF2,21,22，又BC0,4,0，

DFBC421

所以cosDF,BC

222

DFBC422122

2135

令222，

221227

3

整理得1622490.解得.

4

AF3

1

所以线段A1C上存在点F适合题意，且.

A1C4

19．(1)d(P,R)4，d(P,l)2；

(2)（i）内切；（ii）证明见解析．

【详解】（1）P(3,1),R(1,4)，3(1)4，143，所以d(P,R)4，

直线l方程为x1，Q(1,t)是l上一点，312，

当t12，即1t3时，d(P,Q)2，

当t12，即t1或t3时，d(P,Q)t1，

所以d(P,Q)的最小值是2，所以d(P,l)2；

（2）（i）圆C标准方程是(x1)2y24，圆心为C(1,0)，半径为2，

35

圆E的圆心为E(a,a)，半径为，

22

31

d(C,E)maxa1,a，

22

113

若a1，则a或a，

222

13331

a时，a1，d(C,E)1不合题意，a时，a0，d(C,E)满足题意，

2222