安徽省2025-2026学年高二数学上学期期末试题解析版

注意事项：

1．本试卷共19小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔

在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．.

4.所有答案均要在答题卡上，否则无效.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若直线l的一个方向向量为(3,3)，则直线l的倾斜角为（）

ππ2π5π

A.B.C.D.

6336

【答案】D

【解析】

【分析】根据方向向量求出斜率，根据倾斜角与斜率的关系，即可得答案.

3

【详解】根据题意：方向向量为(3,3)的直线l的斜率为，

3

3

设直线l的倾斜角为，0,π，则tan，

3

5π

解得倾斜角为．

6

故选：D.

x2y2

2.方程1表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（）

m26m

A.2,6B.2,22,6

C.2,6D.2,

【答案】B

【解析】

【分析】根据方程表示椭圆，列出满足条件不等式组，解得答案.

x2y2

【详解】因为方程1表示的曲线为椭圆，

m26m

m20

所以6m0，解得2m6且m2.

m26m

故选：B

3.下列说法中正确的有（）

ππ1

A.cossinB.lgx

66xln10

2x1

C.2xD.x

ln22x

【答案】B

【解析】

【分析】根据初等函数的导数公式依次计算各选项即可判断.

【详解】对于A，π3，故A错误；

cos0

62

1

对于B，lgx，故B正确；

xln10

对于C，2x2xln2，故C错误；

11

11

对于D，xx2x2，故D错误.

22x

故选：B

4.在等比数列an中，有a3a158a9，数列bn是等差数列，且b9a9，则b7b11等于（）

A.4B.8C.16D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等比数列性质求得a9，再由等差数列性质求解．

【详解】∵是等比数列，∴2，，所以，即，

{an}8a9a3a15a9a90a98b9a98

∵{bn}是等差数列，所以b7b112b916．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，

设m,n,p,l是正整数，mnpl，若{an}是等差数列，则amanapal，若{an}是等比数列，则

amanapal．pl时，上述结论也成立．

5.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

11

A.若空间向量a1,0,1，b0,1,1，则a在b上的投影向量为0,,

22

B.若a,b,c是空间的一组基底，则ab,bc,a2bc也是空间的一组基底

111

C.若空间中任意一点O，有OPOAOBOC，则P，A，B，C四点共面

362

3

D.已知向量a1,1,x，b3,x,9，若x，则a与b的夹角为锐角

10

【答案】D

【解析】

abb

【分析】对于A，a在b上的投影向量为，计算即可；对于B，判断ab，bc，是

bba2bc

否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出cosa,b的正负，

讨论a，b共线时的特殊情况即可.

abb111

【详解】对于A，a在b上的投影向量为b0,,，A错；

bb222

对于B，{a,b,c}是空间的一组基底，而a2bcabbc，即ab，bc，a2bc是共

面向量，故ab,bc,a2bc不是空间的一组基底，即B错误；

111111

对于C，在OPOAOBOC中1，故P，A，B，C四点不共面，C错；

362362

ab10x33

对于D，cosa,b，若x，则10x30，可得cosa,b0，若a，b

ab2x290x210

11x33

共线，则，解得x3，即当x时，a，b不共线，a，b的夹角为锐角，故D正

3x91010

确.

故选：D.

为奇数

an1,n

6.已知数列a满足a1，a，则a的前20项和为（）

n1n1为偶数n

an2,n

A.299B.300C.301D.302

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的求和公式及分组求和的方法求解.

【详解】由题意知数列an满足a11，a2na2n11a2n11，a2n1a2n2，

所以a2n1a2n2a2n13.

所以数列an的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由a2n2a2n11a2n3，a2a112知，

数列an的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

从而数列an的前20项和为：S20a1a3a5a19a2a4a6a20

109109

10131023300.

22

故选：B.

2

7.已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2y51上一个动点，那么点P到点Q的距离与点

P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）

A.172B.262C.171D.261

【答案】D

【解析】

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的

距离等于点P到焦点F的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最

小值，根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心

到焦点F的距离减去圆的半径.

2

【详解】抛物线y24x的焦点为F1,0，圆x2y51的圆心为C0,5，半径r1，

根据抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，

由图知，当P,Q,F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小，

22

且最小值为FCr10051261.

故选：D

8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反

x2y2

向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:1a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发

a2b2

32

出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tanBAC，BDADBD，

4

则双曲线E的离心率为（）

101737

A.B.C.D.5

235

【答案】A

【解析】

4

【分析】由题意可知F，A，C三点共线，F，B，D三点共线，而cosFABcosBAC，且

1115

πAB4F1B3

由题知进而，故，求出，故可设，，

ABBD0F1BAF1B3tAB4t

2F1A5F1A5

F1A5t，利用双曲线的定义得到4a2a2aF1AF2AF1BF2B，从而得到at，结合

余弦定理得到a,c的方程，求出e的值.

【详解】连接F1A，F1B，根据题意，F1，A，C三点共线，F1，B，D三点共线.

34

由tanBAC，可得cosFABcosBAC，

415

22π

由可得，即，所以，

BDADBDABBD·BDBD0ABBD0F1BA

2

222

AB4FBF1AABAB3

故，11，

FA52

1F1AF1AF1A5

故可设F1B3t，AB4t，F1A5t.

由于4a2a2aF1AF2AF1BF2BF1AF1BF2AF2B

F1AF1BAB5t3t4t4t，故at，

从而F1A5a，F1B3a，故F2A3a，F2Ba，

而cosF1F2AcosF1F2B，

222222

FAFFFAFBFFFB

结合余弦定理得21212121，

2F1F2F2A2F1F2F2B

9a24c225a2a24c29a2c25c210

故，解得，所以e.

22c3a22caa22a22

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则下列结论正确的是（）

A.异面直线AB与AD所成角为

114

6

B.直线DB1与平面ABCD所成角的余弦值为

3

C.点到直线的距离为30

B1ED1

3

3

D.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为

3

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A选项，由AB1∥DC1得到A1DC1为异面直线AB1与A1D所成角，根据正方体的性质的即

得；对于B选项，由BB1平面ABCD，可以得到直线DB1与平面ABCD所成角为B1DB，进而即得；

对于C选项，利用空间向量法求解即得；对于D选项，求出平面A1BD的法向量为nx,y,z，由平面

A1BD//平面B1CD1，可知平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，进而即得.

【详解】对于A选项，在正方体ABCDA1B1C1D中，AB1∥DC1

即A1DC1为异面直线AB1与A1D所成角，

因为22，所以△ADC为等边三角形，

A1DDC1A1C111211

π

因此ADC，故A错误.

113

对于B选项，因为BB1平面ABCD，所以BD是DB1在平面ABCD上的射影，

那么直线DB1与平面ABCD所成角为B1DB，

在中，22，22，

RtB1DBBDADAB2B1DBDBB13

BB136

则1，6，故B正确.

sinB1DBcosB1DB

DB13333

对于C选项，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

111

则D10,0,1，E0,1,，B11,1,1，那么ED10,1,，EB11,0,，

222

2

2

根据点到直线的距离公式：EB1ED1，

dEB1

ED

1

1

又，3，5，

ED1EB1EDEB

41212

2

21

530

代入可得4.故C不正确.

d

255

2

对于D选项，A1B1,0,1，A1D0,1,1，A1D10,1,0，

nA1B0xz0

设平面ABD的法向量为nx,y,z，则，所以，

1yz0

nA1D0

令z1，得y1，x1，所以n1,1,1，

ADn

所以点D到平面ABD的距离1113，

11d3

n33

因为平面A1BD//平面B1CD1，

所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，

即该距离为3，故D正确；

3

故选：BD.

10.已知数列an的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（）

A.若数列an为等差数列，S150，S160，则n8时，Sn最大

89

B.若acos2n，则S

n892

23n13

C.若n，则数列的前项和小于

an3n

an1an112

1

D.若数列an满足a12，an11，则a1a2a2a3a2025a20261013

an

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，由等差数列的前n项和公式及性质可知a80，a90，公差小于零，即可判断；对于B，

利用三角函数中的平方关系及倒序相加即可求解；对于C，裂项相消即可求解；对于D，利用周期数列求和

即可.

15a1a15152a8

【详解】对于A，在等差数列中，S15a0，则a80，

15228

16a1a16

S8aa0，由于a80，则a90，

16289

所以等差数列an的公差小于0，

则a1a2a80a9a10，则n8时，Sn最大，故A正确；

对于B，22，2222，

cosnsin90nS89cos1cos2cos3cos89

所以2222，

S89sin89sin88sin87sin1

222222

2S89cos1sin1cos2sin2cos89sin8918989，

89

S，故B正确；

892

23n123n111

对于C，由题可得nn13nn1，

an1an1131313131

23n1

所以数列的前n项和为

an1an11

1111111133

，

Tn33

3113213213313n13n113113n1123n11

3323n13

由于，则，即数列的前n项和小于，故C正确；

n10Tn

312an1an112

1

对于D，数列an满足a12，an11，

an

1

11a11

则a1，31，a112，

2224

2

1

所以数列a是周期为3的数列，计算一个周期内的乘积aa1，aa，aa2，

n1223234

3

故aaaaaa，

1223342

32025

所以a1a2a2a3a3a4a2025a2026675a1a2a2a3a3a4675，故D不正确；

22

故选：ABC

x2y2

11.已知双曲线C:1a0,b0的其中一条渐近线方程为y3x，且过点2,3.点P为该

a2b2

双曲线右支上一点，点F1，F2分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（）

2

A.当FPF时，PFF的面积为3

12312

B.存在过点M1,1的直线与双曲线C相交于A,B两点，且点M为AB的中点

C.PF1F2的内切圆与x轴切于点G，则GF1GF22

3

D.过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足为D，E，则两垂足距离最短为

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出双曲线的标准方程，再围绕双曲线的几何性质和相关定理，逐一分析四个选项：

选项A：先利用双曲线定义得到PF1PF22a，再结合余弦定理求出PF1PF2的值，最后用三角

1

形面积公式SPFPFsin计算面积；

212

选项B：先用点差法求出直线斜率，再写出直线方程并联立双曲线方程，最后通过判别式Δ0判断直线

与双曲线无交点；

选项C：先利用切线长相等的性质，再结合双曲线定义PF1PF22a，最后推导出F1GF2G2a；

选项D：先写出点到渐近线的距离公式，再结合双曲线方程化简，得到距离乘积为定值，最后利用余弦定理

和不等式求出最短距离.

b

3

aa1y2

【详解】由，即，所以双曲线C的方程为x21，

49b33

1

a2b2

所以22，所以焦点为，.

cab2F12,0F22,0

2

对于A：当FPF时，

123

PFPF2

12

由，所以，

2222PF1PF24

PF1PF22PF1PF2cos2c16

3

1213

所以SPFPFsin43，故A正确；

PF1F2212322

对于B：设Ax1,y1，Bx2,y2，

2

2y1

x11

3yyyy

则，所以xxxx12120

y212123

x221

23

又M1,1为线段AB的中点，所以x1x22，y1y22，

yy

21

所以3，故kAB3，AB的直线方程为3xy20，

x2x1

y2

x21

直线与曲线方程联立3，则6x212x70，

3xy20

因为Δ0，此方程无解，所以不存在符合条件的直线，故B错误；

对于C：设PF1F2的内切圆为圆H，与PF1，PF2相切于S,T

则PSPT，F1SF1G，F2TF2G.

又因为PF1PF22，所以PSF1SPTF2T2，

所以F1SF2T2，即F1GF2G2，故C正确；

对于D：设Px0,y0，不妨设点D在渐近线3xy0上，

3x0y03x0y0

则PD，PE，且DPE，

223

由余弦定理，

22

3xy3xy3xy3xy

22200000000，

DEPDPE2PDPEcos

3444

2222

3xy3x0y09

003x2，

2404

2933

因为x01，所以DE3（当x01时取等号），即DE.故D正确.

442

故选：ACD

.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若圆x2y24与圆x2y24x4y120相交于A，B两点，则公共弦AB的长为_____.

【答案】22

【解析】

【分析】两圆相减，求出相交弦所在直线方程，圆心到直线的距离，即可求解.

【详解】圆x2y24与圆x2y24x4y120，

两圆的方程相减，得xy20，

即为直线AB的方程，

2

x2y24的圆心到xy20距离为d2，r2

2

所以AB2r2d222

故答案为：22

ππ

13.已知fxfsinxcosx，则fx在x处的切线方程为_____.

32

π

【答案】xy30

2

【解析】

πππ

【分析】求出fx，将x代入fx，解出f，利用导数的几何意义求出f即为切线的斜

332

ππ

率，将x代入fx，求出f即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程.

22

πππ

【详解】由fxfsinxcosx，得fxfcosxsinx，令x，则

333

πππππ

ffcossin，解得f3，所以fx3cosxsinx，

33333

ππππ

所以fx在x处的切线方程的斜率为f3cossin1，

2222

ππππ

又ffsincos3，

2322

ππ

所以切线方程为：y3x，即xy30.

22

π

故答案为：xy30.

2

2

14.已知抛物线C:y2pxp0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于Mx1,y1,Nx2,y2

1

两点，O为坐标原点，若cosMON，则sinMOFsinNOF________.

3

4

【答案】

9

【解析】

2

p2p

【分析】设直线l的方程为xmy，联立抛物线方程利用韦达定理求出y1y2p，xx，利用

2124

92

平面向量数量积公式及数量积坐标表示分别求OMON，得到OM·ONp，而

4

y1y2

sinMOF·sinNOF·，代入即可求出答案.

OMON

2p

【详解】抛物线C:y2pxp0)的焦点为F,0，

2

p

易知直线l斜率不为0，设直线l的方程为xmy，

2

y22px

22

联立p，则y2mpyp0，

xmy

2

2222

所以Δ4mp4p0，y1y2p，

22

y2y2pp2

所以xx12，

122p2p4p24

3

因为OMx,y，ONx,y，所以OMONxxyyp2，

112212124

11

又因为cosMON，所以OM·ONOM·ONcosMONOM·ON，

33

139

所以OM·ONp2，即OM·ONp2，

344

yyp24

sinMOF·sinNOF1·2

9.

OMONp29

4

4

故答案为：.

9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中2

ananSn2Snanan.

（1）求数列an的通项公式;

a

（2）令bn，求数列b的前n项和T.

n3nnn

【答案】（1）ann

32n3

（2）T

n443n

【解析】

【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系证明an是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可.

（2）写出新数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求和即可.

【小问1详解】

2，当时，2，得或舍，

2Snanann12S1a1a1a11a10()

当时，2，22，

n22Sn1an1an12an2Sn2Sn1ananan1an1

即anan1anan1anan1，数列an的各项均为正数，即anan10，

anan11n2，即数列an是首项为1，公差为1的等差数列，

ann.

【小问2详解】

an123n

bn，T①，

n3n3nn332333n

1123n

T②，

3n3233343n1

211111n

①-②得：T

3n33233343n3n1

11

1

33nn11n

1，

1n1nn1

13233

3

311n32n3

Tn1nn1n

2233443

16.已知圆C过点A4,2和点B1,3，圆心在直线yx1上．

（1）求圆C的方程；

（2）直线l经过点P1,1，且l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程．

22

【答案】（1）x2y15；

（2）x1或3x4y70.

【解析】

【分析】（1）由圆心所在直线，可设圆心坐标为Ca,a1，后利用圆C过点A4,2和点B1,3，可得

答案；

（2）由被圆所截弦长可得圆心C到直线l的距离d，后由点到直线距离公式可得答案，但要注意直线斜率

不存在的情况.

【小问1详解】

因圆心在直线yx1上，则设圆C的圆心坐标为Ca,a1，

2222

由圆C过点A4,2和点B1,3，得a4a3a1a4a2.

22

则圆的半径为a1a45，

22

所以圆C的方程为x2y15．

【小问2详解】

设圆心C到直线l的距离为d，由l被圆C截得的弦长为4，

则有425d2d1.

当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，此时d1，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为y1kx1，即kxyk10．

2k1k13

由d1，得1k.

k214

所以直线l的方程为3x4y70．

综上，直线l的方程为x1或3x4y70．

x2y2

17.已知椭圆过点，且离心率为3.

C:221ab0A0,1

ab2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过A作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点M,N，且k1k22，证明：直线MN过定

12

点.�,�

x2

【答案】（1）y21；（2）证明见解析.

4

【解析】

【分析】（1）由离心率、过点A0,1和椭圆a,b,c关系可构造方程求得a,b，由此可得椭圆方程；

（2）当直线MN斜率不存在时，表示出M,N两点坐标，由两点连线斜率公式表示出k1,k2，整理可得直

线MN为x1；当直线MN斜率存在时，设MN:ykxm，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，

代入k1k2中整理可得km1，由此可得直线MN所过定点；综合两种情况可得直线MN过定点.

x2y21

【详解】（1）椭圆C:1ab0过点A0,1，即1，b1；

a2b2b2

c3

e，又a2b2c2，a2，

a2

x2

椭圆C的方程为：y21.

4

（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为xt，则Mt,s,

Nt,s，

1s1s1s1s2

则k,k，kk2，解得：t1，

1t2t12ttt

直线方程为x1；

当直线MN斜率存在时，设直线方程为ykxm，

x24y24

联立方程组得：4k21x28kmx4m240，

ykxm

8km2

设，则，4m4（*），

Mx1,

y1,

Nx2,

y2x1x22xx

4k1124k21

y11y21y1x2x1y2x1x22kx1x2m1x1x2

则k1k2，

x1x2x1x2x1x2

8km8k

将*式代入化简可得：2，即km1m10，整理得：km1，

4m24

代入直线MN方程得：ym1xmmx1x，